Theorem fnetg 36328

Description: A finer cover generates a topology finer than the original set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnetg	⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem fnetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝐵
3	1, 2	isfne4 36323	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
4	3	simprbi 496	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  topGenctg 17484  Fnecfne 36319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490  df-fne 36320

This theorem is referenced by:  fnessex  36329  fneuni  36330  fnemeet2  36350  fnejoin2  36352