Theorem fnetg 37226

Description: A finer cover generates a topology finer than the original set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnetg	⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem fnetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝐵
3	1, 2	isfne4 37221	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
4	3	simprbi 503	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  topGenctg 17614  Fnecfne 37217

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-topgen 17620  df-fne 37218

This theorem is used by:  fnessex  37227  fneuni  37228  fnemeet2  37248  fnejoin2  37250