Theorem fnetg 36346

Description: A finer cover generates a topology finer than the original set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnetg	⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem fnetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝐵
3	1, 2	isfne4 36341	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
4	3	simprbi 496	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  topGenctg 17482  Fnecfne 36337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-topgen 17488  df-fne 36338

This theorem is referenced by:  fnessex  36347  fneuni  36348  fnemeet2  36368  fnejoin2  36370