Theorem fnetg 36666

Description: A finer cover generates a topology finer than the original set. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnetg	⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem fnetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ ∪ 𝐵 = ∪ 𝐵
3	1, 2	isfne4 36661	. 2 ⊢ (𝐴Fne𝐵 ↔ (∪ 𝐴 = ∪ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
4	3	simprbi 501	1 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4862   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  topGenctg 17457  Fnecfne 36657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fv 6524  df-topgen 17463  df-fne 36658

This theorem is referenced by:  fnessex  36667  fneuni  36668  fnemeet2  36688  fnejoin2  36690