Theorem fnessex 37056

Description: If 𝐵 is finer than 𝐴 and 𝑆 is an element of 𝐴, every point in 𝑆 is an element of a subset of 𝑆 which is in 𝐵. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fnessex	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fnessex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnetg 37055	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
2	1	sselda 3930	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (topGen‘𝐵))
3		tg2 23245	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))
4	2, 3	stoic3 1809	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  topGenctg 17570  Fnecfne 37046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-topgen 17576  df-fne 37047

This theorem is used by:  fneint  37058  fnessref  37067