Theorem fnessex 36347

Description: If 𝐵 is finer than 𝐴 and 𝑆 is an element of 𝐴, every point in 𝑆 is an element of a subset of 𝑆 which is in 𝐵. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fnessex	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fnessex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnetg 36346	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
2	1	sselda 3983	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (topGen‘𝐵))
3		tg2 22972	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))
4	2, 3	stoic3 1776	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  topGenctg 17482  Fnecfne 36337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-topgen 17488  df-fne 36338

This theorem is referenced by:  fneint  36349  fnessref  36358