Theorem fnessex 36341

Description: If 𝐵 is finer than 𝐴 and 𝑆 is an element of 𝐴, every point in 𝑆 is an element of a subset of 𝑆 which is in 𝐵. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fnessex	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fnessex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnetg 36340	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
2	1	sselda 3949	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (topGen‘𝐵))
3		tg2 22859	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))
4	2, 3	stoic3 1776	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝑆) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  topGenctg 17407  Fnecfne 36331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-topgen 17413  df-fne 36332

This theorem is referenced by:  fneint  36343  fnessref  36352