MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tg2 20990
Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tg2 ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem tg2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6361 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
2 eltg2b 20984 . . . 4 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦𝐴𝑥𝐵 (𝑦𝑥𝑥𝐴)))
3 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
43anbi1d 615 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
54rexbidv 3200 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥𝐵 (𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
65rspccv 3457 . . . 4 (∀𝑦𝐴𝑥𝐵 (𝑦𝑥𝑥𝐴) → (𝐶𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
72, 6syl6bi 243 . . 3 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴))))
81, 7mpcom 38 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶𝐴 → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴)))
98imp 393 1 ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶𝐴) → ∃𝑥𝐵 (𝐶𝑥𝑥𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723  dom cdm 5249  cfv 6031  topGenctg 16306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-topgen 16312
This theorem is referenced by:  tgclb  20995  elcls3  21108  pnfnei  21245  mnfnei  21246  tgcnp  21278  tgcmp  21425  2ndcctbss  21479  2ndcdisj  21480  2ndcomap  21482  dis2ndc  21484  ptpjopn  21636  txlm  21672  flftg  22020  alexsublem  22068  alexsubALT  22075  tmdgsum2  22120  xrge0tsms  22857  xrge0tsmsd  30125  iccllysconn  31570  rellysconn  31571  fnessex  32678  ptrecube  33742  islptre  40369
  Copyright terms: Public domain W3C validator