Theorem tg2 22959

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg2	⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem tg2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6938	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
2		eltg2b 22953	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
3		eleq1 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝐶 ∈ 𝑥))
4	3	anbi1d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
5	4	rexbidv 3169	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
6	5	rspccv 3605	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
7	2, 6	biimtrdi 252	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))))
8	1, 7	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
9	8	imp 405	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947  dom cdm 5682  ‘cfv 6554  topGenctg 17452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fv 6562  df-topgen 17458

This theorem is referenced by:  tgclb  22964  elcls3  23078  pnfnei  23215  mnfnei  23216  tgcnp  23248  tgcmp  23396  2ndcctbss  23450  2ndcdisj  23451  2ndcomap  23453  dis2ndc  23455  ptpjopn  23607  txlm  23643  flftg  23991  alexsublem  24039  alexsubALT  24046  tmdgsum2  24091  xrge0tsms  24841  xrge0tsmsd  32926  iccllysconn  35078  rellysconn  35079  fnessex  36058  ptrecube  37321  islptre  45240