Theorem tg2 22943

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg2	⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem tg2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
2		eltg2b 22937	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
3		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝐶 ∈ 𝑥))
4	3	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
5	4	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
6	5	rspccv 3562	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
7	2, 6	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))))
8	1, 7	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
9	8	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  topGenctg 17394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-topgen 17400

This theorem is referenced by:  tgclb  22948  elcls3  23061  pnfnei  23198  mnfnei  23199  tgcnp  23231  tgcmp  23379  2ndcctbss  23433  2ndcdisj  23434  2ndcomap  23436  dis2ndc  23438  ptpjopn  23590  txlm  23626  flftg  23974  alexsublem  24022  alexsubALT  24029  tmdgsum2  24074  xrge0tsms  24813  xrge0tsmsd  33152  iccllysconn  35451  rellysconn  35452  fnessex  36547  ptrecube  37958  islptre  46070