Theorem tg2 22972

Description: Property of a member of a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tg2	⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem tg2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6943	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
2		eltg2b 22966	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
3		eleq1 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝐶 ∈ 𝑥))
4	3	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
5	4	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
6	5	rspccv 3619	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
7	2, 6	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))))
8	1, 7	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐶 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴)))
9	8	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝐶 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  topGenctg 17482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-topgen 17488

This theorem is referenced by:  tgclb  22977  elcls3  23091  pnfnei  23228  mnfnei  23229  tgcnp  23261  tgcmp  23409  2ndcctbss  23463  2ndcdisj  23464  2ndcomap  23466  dis2ndc  23468  ptpjopn  23620  txlm  23656  flftg  24004  alexsublem  24052  alexsubALT  24059  tmdgsum2  24104  xrge0tsms  24856  xrge0tsmsd  33065  iccllysconn  35255  rellysconn  35256  fnessex  36347  ptrecube  37627  islptre  45634