Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fneuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fneuni 35740
Description: If 𝐡 is finer than 𝐴, every element of 𝐴 is a union of elements of 𝐡. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
fneuni ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑆

Proof of Theorem fneuni
StepHypRef Expression
1 fnetg 35738 . . 3 (𝐴Fne𝐡 β†’ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
21sselda 3977 . 2 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅))
3 elfvdm 6921 . . . 4 (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐡 ∈ dom topGen)
4 eltg3 22816 . . . 4 (𝐡 ∈ dom topGen β†’ (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯)))
65ibi 267 . 2 (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯))
72, 6syl 17 1 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  topGenctg 17390  Fnecfne 35729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-topgen 17396  df-fne 35730
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator