Theorem fneuni 36560

Description: If 𝐵 is finer than 𝐴, every element of 𝐴 is a union of elements of 𝐵. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fneuni	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fneuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnetg 36558	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
2	1	sselda 3935	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (topGen‘𝐵))
3		elfvdm 6876	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
4		eltg3 22918	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥)))
6	5	ibi 267	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  topGenctg 17369  Fnecfne 36549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topgen 17375  df-fne 36550

This theorem is referenced by: (None)