Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fneuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fneuni 34819
Description: If 𝐵 is finer than 𝐴, every element of 𝐴 is a union of elements of 𝐵. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
fneuni ((𝐴Fne𝐵𝑆𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fneuni
StepHypRef Expression
1 fnetg 34817 . . 3 (𝐴Fne𝐵𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
21sselda 3944 . 2 ((𝐴Fne𝐵𝑆𝐴) → 𝑆 ∈ (topGen‘𝐵))
3 elfvdm 6879 . . . 4 (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
4 eltg3 22312 . . . 4 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥)))
65ibi 266 . 2 (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥))
72, 6syl 17 1 ((𝐴Fne𝐵𝑆𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wss 3910   cuni 4865   class class class wbr 5105  dom cdm 5633  cfv 6496  topGenctg 17319  Fnecfne 34808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fv 6504  df-topgen 17325  df-fne 34809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator