Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fneuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fneuni 35831
Description: If 𝐡 is finer than 𝐴, every element of 𝐴 is a union of elements of 𝐡. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
fneuni ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑆

Proof of Theorem fneuni
StepHypRef Expression
1 fnetg 35829 . . 3 (𝐴Fne𝐡 β†’ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
21sselda 3980 . 2 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅))
3 elfvdm 6934 . . . 4 (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ 𝐡 ∈ dom topGen)
4 eltg3 22878 . . . 4 (𝐡 ∈ dom topGen β†’ (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯)))
65ibi 267 . 2 (𝑆 ∈ (topGenβ€˜π΅) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯))
72, 6syl 17 1 ((𝐴Fne𝐡 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 = βˆͺ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  β€˜cfv 6548  topGenctg 17419  Fnecfne 35820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-topgen 17425  df-fne 35821
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator