Theorem fneuni 36335

Description: If 𝐵 is finer than 𝐴, every element of 𝐴 is a union of elements of 𝐵. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fneuni	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fneuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnetg 36333	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
2	1	sselda 3946	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (topGen‘𝐵))
3		elfvdm 6895	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
4		eltg3 22849	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥)))
6	5	ibi 267	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  topGenctg 17400  Fnecfne 36324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-topgen 17406  df-fne 36325

This theorem is referenced by: (None)