Theorem fneuni 34463

Description: If 𝐵 is finer than 𝐴, every element of 𝐴 is a union of elements of 𝐵. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fneuni	⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fneuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnetg 34461	. . 3 ⊢ (𝐴Fne𝐵 → 𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
2	1	sselda 3917	. 2 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (topGen‘𝐵))
3		elfvdm 6788	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
4		eltg3 22020	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥)))
6	5	ibi 266	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))
7	2, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐴Fne𝐵 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 = ∪ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  topGenctg 17065  Fnecfne 34452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-topgen 17071  df-fne 34453

This theorem is referenced by: (None)