Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fneuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fneuni 32934
Description: If 𝐵 is finer than 𝐴, every element of 𝐴 is a union of elements of 𝐵. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
fneuni ((𝐴Fne𝐵𝑆𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆

Proof of Theorem fneuni
StepHypRef Expression
1 fnetg 32932 . . 3 (𝐴Fne𝐵𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵))
21sselda 3821 . 2 ((𝐴Fne𝐵𝑆𝐴) → 𝑆 ∈ (topGen‘𝐵))
3 elfvdm 6480 . . . 4 (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
4 eltg3 21178 . . . 4 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥)))
65ibi 259 . 2 (𝑆 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥))
72, 6syl 17 1 ((𝐴Fne𝐵𝑆𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝑆 = 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  wss 3792   cuni 4673   class class class wbr 4888  dom cdm 5357  cfv 6137  topGenctg 16488  Fnecfne 32923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fv 6145  df-topgen 16494  df-fne 32924
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator