Theorem iedgedg 28578

Description: An indexed edge is an edge. (Contributed by AV, 19-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
iedgedg.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iedgedg	⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐼 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐼) ∈ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem iedgedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvelrn 7078	. 2 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐼 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐼) ∈ ran 𝐸)
2		edgval 28577	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
3		iedgedg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4	3	rneqi 5936	. . 3 ⊢ ran 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺)
5	2, 4	eqtr4i 2762	. 2 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran 𝐸
6	1, 5	eleqtrrdi 2843	1 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝐼 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝐼) ∈ (Edg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  iEdgciedg 28525  Edgcedg 28575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551  df-edg 28576

This theorem is referenced by:  edglnl  28671  numedglnl  28672  umgr2cycllem  34430