Theorem umgr2cycllem 35338

Description: Lemma for umgr2cycl 35339. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2cycllem.1	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2cycllem.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2cycllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2cycllem.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom 𝐼)
umgr2cycllem.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
umgr2cycllem.6	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = (𝐼‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
umgr2cycllem	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)   𝐾(𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycllem

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2cycllem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		umgruhgr 29187	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		umgr2cycllem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	3	uhgrfun 29149	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
5	1, 2, 4	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
6		umgr2cycllem.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom 𝐼)
7	3	iedgedg 29133	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝐽) ∈ (Edg‘𝐺))
8	5, 6, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) ∈ (Edg‘𝐺))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11	9, 10	umgredg 29221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐼‘𝐽) ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}))
12	1, 8, 11	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}))
13		ax-5 1912	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑏 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
14		alral 3067	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
16		r19.29 3101	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})))
17	15, 16	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})))
18		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ = ⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩
19		umgr2cycllem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
20		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)))
21		simp3l 1203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝑎 ≠ 𝑏)
22		eqimss2 3982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏} → {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐽))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐽))
24	23	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐽))
25		umgr2cycllem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = (𝐼‘𝐾))
26	25	sseq2d 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ({𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐽) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
27	22, 26	imbitrid 244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏} → {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
28	27	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
29	28	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
30	29	3impib 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐾))
31	24, 30	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
32		umgr2cycllem.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
33	32	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝐽 ≠ 𝐾)
34	18, 19, 20, 21, 31, 9, 3, 33	2cycl2d 35337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩)
35	34	3expib 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩))
36	35	exp4c 432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩))))
37	36	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩))))
38	37	imp4a 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩)))
39		s3cli 14834	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ ∈ Word V
40		breq2 5090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = ⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩))
41	40	rspcev 3565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩) → ∃𝑝 ∈ Word V𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)
42	39, 41	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ → ∃𝑝 ∈ Word V𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)
43		rexex 3068	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ Word V𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)
45	38, 44	syl8 76	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)))
46	45	rexlimdv 3137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
47	17, 46	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
48	47	expd 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → (∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)))
49	48	rexlimdv 3137	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
50	12, 49	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {cpr 4570   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  Word cword 14466  ⟨“cs2 14794  ⟨“cs3 14795  Vtxcvtx 29079  iEdgciedg 29080  Edgcedg 29130  UHGraphcuhgr 29139  UMGraphcumgr 29164  Cyclesccycls 29868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-edg 29131  df-uhgr 29141  df-upgr 29165  df-umgr 29166  df-wlks 29683  df-trls 29774  df-pths 29797  df-cycls 29870

This theorem is referenced by:  umgr2cycl  35339