Theorem umgr2cycllem 30633

Description: Lemma for umgr2cycl 30634. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgr2cycllem.1	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
umgr2cycllem.2	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
umgr2cycllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2cycllem.4	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom 𝐼)
umgr2cycllem.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
umgr2cycllem.6	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = (𝐼‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
umgr2cycllem	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)

Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)   𝐾(𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycllem

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2cycllem.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		umgruhgr 29569	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		umgr2cycllem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4	3	uhgrfun 29531	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun 𝐼)
5	1, 2, 4	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
6		umgr2cycllem.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ dom 𝐼)
7	3	iedgedg 29515	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) → (𝐼‘𝐽) ∈ (Edg‘𝐺))
8	5, 6, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) ∈ (Edg‘𝐺))
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
10		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
11	9, 10	umgredg 29603	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐼‘𝐽) ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}))
12	1, 8, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}))
13		ax-5 1943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑏 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
14		alral 3093	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑏 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → ∀𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
16		r19.29 3127	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})))
17	15, 16	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})))
18		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ = ⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩
19		umgr2cycllem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
20		simp2l 1218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺))
21		simp2r 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))
22	20, 21, 20	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23		simp3l 1220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝑎 ≠ 𝑏)
24	23	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝑏 ≠ 𝑎)
25	23, 24	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
26		simp3r 1221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})
27	26	eqimsscd 3991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → {𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐽))
28		umgr2cycllem.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐽) = (𝐼‘𝐾))
29	28	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → (𝐼‘𝐽) = (𝐼‘𝐾))
30	29, 26	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → (𝐼‘𝐾) = {𝑎, 𝑏})
31		prcom 4696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎})
33	30, 32	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → (𝐼‘𝐾) = {𝑏, 𝑎})
34		eqimss2 3993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼‘𝐾) = {𝑏, 𝑎} → {𝑏, 𝑎} ⊆ (𝐼‘𝐾))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → {𝑏, 𝑎} ⊆ (𝐼‘𝐾))
36	27, 35	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ({𝑎, 𝑏} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝑏, 𝑎} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
37		umgr2cycllem.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
38	37	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝐽 ≠ 𝐾)
39		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝑎 = 𝑎)
40	18, 19, 22, 25, 36, 9, 3, 38, 39	2cycld 30632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩)
41	40	3expib 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩))
42	41	exp4c 438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩))))
43	42	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩))))
44	43	imp4a 428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩)))
45		s3cli 14956	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ ∈ Word V
46		breq2 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = ⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 ↔ 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩))
47	46	rspcev 3579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ ∈ Word V ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩) → ∃𝑝 ∈ Word V𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)
48	45, 47	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ → ∃𝑝 ∈ Word V𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)
49		rexex 3094	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑝 ∈ Word V𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝 → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)⟨“𝑎𝑏𝑎”⟩ → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)
51	44, 50	syl8 77	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)))
52	51	rexlimdv 3163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
53	17, 52	syl5 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏})) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
54	53	expd 421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → (∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)))
55	54	rexlimdv 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ (𝐼‘𝐽) = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝))
56	12, 55	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑝)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {cpr 4589   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  Word cword 14582  ⟨“cs2 14916  ⟨“cs3 14917  Vtxcvtx 29461  iEdgciedg 29462  Edgcedg 29512  UHGraphcuhgr 29521  UMGraphcumgr 29546  Cyclesccycls 30259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-edg 29513  df-uhgr 29523  df-upgr 29547  df-umgr 29548  df-wlks 30067  df-trls 30162  df-pths 30186  df-cycls 30261

This theorem is used by:  umgr2cycl  30634