Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2cycllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cycllem 34131
Description: Lemma for umgr2cycl 34132. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
umgr2cycllem.1 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©
umgr2cycllem.2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
umgr2cycllem.3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2cycllem.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ dom 𝐼)
umgr2cycllem.5 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
umgr2cycllem.6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π½) = (πΌβ€˜πΎ))
Assertion
Ref Expression
umgr2cycllem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)   𝐾(𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycllem
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2cycllem.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
2 umgruhgr 28364 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
3 umgr2cycllem.2 . . . . . 6 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
43uhgrfun 28326 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ Fun 𝐼)
51, 2, 43syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
6 umgr2cycllem.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ dom 𝐼)
73iedgedg 28310 . . . 4 ((Fun 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π½) ∈ (Edgβ€˜πΊ))
85, 6, 7syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π½) ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9 eqid 2733 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
10 eqid 2733 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
119, 10umgredg 28398 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (πΌβ€˜π½) ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}))
121, 8, 11syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}))
13 ax-5 1914 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘ π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
14 alral 3076 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
16 r19.29 3115 . . . . . 6 ((βˆ€π‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})))
1715, 16sylan 581 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})))
18 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©
19 umgr2cycllem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©
20 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
21 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ π‘Ž β‰  𝑏)
22 eqimss2 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏} β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½))
2322adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½))
24233ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½))
25 umgr2cycllem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π½) = (πΌβ€˜πΎ))
2625sseq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ({π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½) ↔ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
2722, 26imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏} β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
2827adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
2928adantld 492 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
30293impib 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ))
3124, 30jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
32 umgr2cycllem.5 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
33323ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
3418, 19, 20, 21, 31, 9, 3, 332cycl2d 34130 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©)
35343expib 1123 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©))
3635exp4c 434 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©))))
3736com23 86 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©))))
3837imp4a 424 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©)))
39 s3cli 14832 . . . . . . . . 9 βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© ∈ Word V
40 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ↔ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©))
4140rspcev 3613 . . . . . . . . 9 ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© ∈ Word V ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word V𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
4239, 41mpan 689 . . . . . . . 8 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word V𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
43 rexex 3077 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ ∈ Word V𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
4538, 44syl8 76 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)))
4645rexlimdv 3154 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝))
4717, 46syl5 34 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝))
4847expd 417 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)))
4948rexlimdv 3154 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝))
5012, 49mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Fun wfun 6538  β€˜cfv 6544  Word cword 14464  βŸ¨β€œcs2 14792  βŸ¨β€œcs3 14793  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  Edgcedg 28307  UHGraphcuhgr 28316  UMGraphcumgr 28341  Cyclesccycls 29042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-s3 14800  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-upgr 28342  df-umgr 28343  df-wlks 28856  df-trls 28949  df-pths 28973  df-cycls 29044
This theorem is referenced by:  umgr2cycl  34132
  Copyright terms: Public domain W3C validator