Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2cycllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2cycllem 34429
Description: Lemma for umgr2cycl 34430. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
umgr2cycllem.1 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©
umgr2cycllem.2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
umgr2cycllem.3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
umgr2cycllem.4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ dom 𝐼)
umgr2cycllem.5 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
umgr2cycllem.6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π½) = (πΌβ€˜πΎ))
Assertion
Ref Expression
umgr2cycllem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)   𝐾(𝑝)

Proof of Theorem umgr2cycllem
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgr2cycllem.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
2 umgruhgr 28631 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
3 umgr2cycllem.2 . . . . . 6 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
43uhgrfun 28593 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ Fun 𝐼)
51, 2, 43syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
6 umgr2cycllem.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ dom 𝐼)
73iedgedg 28577 . . . 4 ((Fun 𝐼 ∧ 𝐽 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π½) ∈ (Edgβ€˜πΊ))
85, 6, 7syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π½) ∈ (Edgβ€˜πΊ))
9 eqid 2730 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
10 eqid 2730 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
119, 10umgredg 28665 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (πΌβ€˜π½) ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}))
121, 8, 11syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}))
13 ax-5 1911 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘ π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
14 alral 3073 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
16 r19.29 3112 . . . . . 6 ((βˆ€π‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})))
1715, 16sylan 578 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})))
18 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©
19 umgr2cycllem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = βŸ¨β€œπ½πΎβ€βŸ©
20 simp2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
21 simp3l 1199 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ π‘Ž β‰  𝑏)
22 eqimss2 4040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏} β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½))
2322adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½))
24233ad2ant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½))
25 umgr2cycllem.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π½) = (πΌβ€˜πΎ))
2625sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ({π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½) ↔ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
2722, 26imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏} β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
2827adantld 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
2928adantld 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
30293impib 1114 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ))
3124, 30jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜π½) ∧ {π‘Ž, 𝑏} βŠ† (πΌβ€˜πΎ)))
32 umgr2cycllem.5 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
33323ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ 𝐽 β‰  𝐾)
3418, 19, 20, 21, 31, 9, 3, 332cycl2d 34428 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©)
35343expib 1120 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©))
3635exp4c 431 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©))))
3736com23 86 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©))))
3837imp4a 421 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©)))
39 s3cli 14836 . . . . . . . . 9 βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© ∈ Word V
40 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 ↔ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©))
4140rspcev 3611 . . . . . . . . 9 ((βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© ∈ Word V ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ©) β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word V𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
4239, 41mpan 686 . . . . . . . 8 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© β†’ βˆƒπ‘ ∈ Word V𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
43 rexex 3074 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ ∈ Word V𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝 β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
4442, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ‘Žπ‘π‘Žβ€βŸ© β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
4538, 44syl8 76 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)))
4645rexlimdv 3151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝))
4717, 46syl5 34 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏})) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝))
4847expd 414 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)))
4948rexlimdv 3151 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)(π‘Ž β‰  𝑏 ∧ (πΌβ€˜π½) = {π‘Ž, 𝑏}) β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝))
5012, 49mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1537   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  {cpr 4629   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  Word cword 14468  βŸ¨β€œcs2 14796  βŸ¨β€œcs3 14797  Vtxcvtx 28523  iEdgciedg 28524  Edgcedg 28574  UHGraphcuhgr 28583  UMGraphcumgr 28608  Cyclesccycls 29309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803  df-s3 14804  df-edg 28575  df-uhgr 28585  df-upgr 28609  df-umgr 28610  df-wlks 29123  df-trls 29216  df-pths 29240  df-cycls 29311
This theorem is referenced by:  umgr2cycl  34430
  Copyright terms: Public domain W3C validator