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Theorem intsal 41027
Description: The arbitrary intersection of sigma-algebra (on the same set 𝑋) is a sigma-algebra ( on the same set 𝑋, see intsaluni 41026). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
intsal.ga (𝜑𝐺 ⊆ SAlg)
intsal.gn0 (𝜑𝐺 ≠ ∅)
intsal.x ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑠 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
intsal (𝜑 𝐺 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem intsal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 470 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝜑)
2 intsal.ga . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ⊆ SAlg)
32sselda 3798 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑠 ∈ SAlg)
4 simpr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ SAlg) → 𝑠 ∈ SAlg)
5 0sal 41019 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ SAlg → ∅ ∈ 𝑠)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ SAlg) → ∅ ∈ 𝑠)
71, 3, 6syl2anc 575 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐺) → ∅ ∈ 𝑠)
87ralrimiva 3154 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑠𝐺 ∅ ∈ 𝑠)
9 0ex 4984 . . . . 5 ∅ ∈ V
109elint2 4676 . . . 4 (∅ ∈ 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 ∅ ∈ 𝑠)
118, 10sylibr 225 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)
12 intsal.x . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑠 = 𝑋)
13 intsal.gn0 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ≠ ∅)
142, 13, 12intsaluni 41026 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝐺 = 𝑋)
1514eqcomd 2812 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐺)
1615adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑋 = 𝐺)
1712, 16eqtr2d 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝐺 = 𝑠)
1817difeq1d 3926 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐺) → ( 𝐺𝑦) = ( 𝑠𝑦))
1918adantlr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → ( 𝐺𝑦) = ( 𝑠𝑦))
203adantlr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑠 ∈ SAlg)
21 elinti 4678 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝐺 → (𝑠𝐺𝑦𝑠))
2221imp 395 . . . . . . . . 9 ((𝑦 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
2322adantll 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
24 saldifcl 41018 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ SAlg ∧ 𝑦𝑠) → ( 𝑠𝑦) ∈ 𝑠)
2520, 23, 24syl2anc 575 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → ( 𝑠𝑦) ∈ 𝑠)
2619, 25eqeltrd 2885 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠)
2726ralrimiva 3154 . . . . 5 ((𝜑𝑦 𝐺) → ∀𝑠𝐺 ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠)
28 intex 5012 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ≠ ∅ ↔ 𝐺 ∈ V)
2928biimpi 207 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ≠ ∅ → 𝐺 ∈ V)
3013, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐺 ∈ V)
31 uniexg 7185 . . . . . . . . 9 ( 𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐺 ∈ V)
33 difexg 5003 . . . . . . . 8 ( 𝐺 ∈ V → ( 𝐺𝑦) ∈ V)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝐺𝑦) ∈ V)
3534adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 𝐺) → ( 𝐺𝑦) ∈ V)
36 elintg 4677 . . . . . 6 (( 𝐺𝑦) ∈ V → (( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠))
3735, 36syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 𝐺) → (( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠))
3827, 37mpbird 248 . . . 4 ((𝜑𝑦 𝐺) → ( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺)
3938ralrimiva 3154 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺)
403ad4ant14 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑠 ∈ SAlg)
41 elpwi 4361 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑦 𝐺)
4241adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦 𝐺)
43 intss1 4684 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝐺 𝐺𝑠)
4443adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝐺𝑠)
4542, 44sstrd 3808 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
46 vex 3394 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
4746elpw 4357 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑠𝑦𝑠)
4845, 47sylibr 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
4948adantll 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
5049adantlr 697 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
51 simplr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦 ≼ ω)
5240, 50, 51salunicl 41015 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
5352ralrimiva 3154 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∀𝑠𝐺 𝑦𝑠)
54 vuniex 7184 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
5554a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
56 elintg 4677 . . . . . . 7 ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑦 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 𝑦𝑠))
5755, 56syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → ( 𝑦 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 𝑦𝑠))
5853, 57mpbird 248 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 𝐺)
5958ex 399 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) → (𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))
6059ralrimiva 3154 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))
6111, 39, 603jca 1151 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺)))
62 issal 41013 . . 3 ( 𝐺 ∈ V → ( 𝐺 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))))
6330, 62syl 17 . 2 (𝜑 → ( 𝐺 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))))
6461, 63mpbird 248 1 (𝜑 𝐺 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  Vcvv 3391  cdif 3766  wss 3769  c0 4116  𝒫 cpw 4351   cuni 4630   cint 4669   class class class wbr 4844  ωcom 7295  cdom 8190  SAlgcsalg 41007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-br 4845  df-salg 41008
This theorem is referenced by:  salgencl  41029
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