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Theorem intsal 43869
Description: The arbitrary intersection of sigma-algebra (on the same set 𝑋) is a sigma-algebra ( on the same set 𝑋, see intsaluni 43868). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
intsal.ga (𝜑𝐺 ⊆ SAlg)
intsal.gn0 (𝜑𝐺 ≠ ∅)
intsal.x ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑠 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
intsal (𝜑 𝐺 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem intsal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝜑)
2 intsal.ga . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ⊆ SAlg)
32sselda 3921 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑠 ∈ SAlg)
4 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ SAlg) → 𝑠 ∈ SAlg)
5 0sal 43861 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ SAlg → ∅ ∈ 𝑠)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ SAlg) → ∅ ∈ 𝑠)
71, 3, 6syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐺) → ∅ ∈ 𝑠)
87ralrimiva 3103 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑠𝐺 ∅ ∈ 𝑠)
9 0ex 5231 . . . . 5 ∅ ∈ V
109elint2 4886 . . . 4 (∅ ∈ 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 ∅ ∈ 𝑠)
118, 10sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)
12 intsal.x . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑠 = 𝑋)
13 intsal.gn0 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ≠ ∅)
142, 13, 12intsaluni 43868 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝐺 = 𝑋)
1514eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐺)
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑋 = 𝐺)
1712, 16eqtr2d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝐺 = 𝑠)
1817difeq1d 4056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐺) → ( 𝐺𝑦) = ( 𝑠𝑦))
1918adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → ( 𝐺𝑦) = ( 𝑠𝑦))
203adantlr 712 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑠 ∈ SAlg)
21 elinti 4888 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝐺 → (𝑠𝐺𝑦𝑠))
2221imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑦 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
2322adantll 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
24 saldifcl 43860 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ SAlg ∧ 𝑦𝑠) → ( 𝑠𝑦) ∈ 𝑠)
2520, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → ( 𝑠𝑦) ∈ 𝑠)
2619, 25eqeltrd 2839 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠)
2726ralrimiva 3103 . . . . 5 ((𝜑𝑦 𝐺) → ∀𝑠𝐺 ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠)
28 intex 5261 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ≠ ∅ ↔ 𝐺 ∈ V)
2928biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ≠ ∅ → 𝐺 ∈ V)
3013, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐺 ∈ V)
3130uniexd 7595 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐺 ∈ V)
3231difexd 5253 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝐺𝑦) ∈ V)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 𝐺) → ( 𝐺𝑦) ∈ V)
34 elintg 4887 . . . . . 6 (( 𝐺𝑦) ∈ V → (( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠))
3533, 34syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 𝐺) → (( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠))
3627, 35mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑦 𝐺) → ( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺)
3736ralrimiva 3103 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺)
383ad4ant14 749 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑠 ∈ SAlg)
39 elpwi 4542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑦 𝐺)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦 𝐺)
41 intss1 4894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝐺 𝐺𝑠)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝐺𝑠)
4340, 42sstrd 3931 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
44 vex 3436 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
4544elpw 4537 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑠𝑦𝑠)
4643, 45sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
4746adantll 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
4847adantlr 712 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
49 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦 ≼ ω)
5038, 48, 49salunicl 43857 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
5150ralrimiva 3103 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∀𝑠𝐺 𝑦𝑠)
52 vuniex 7592 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
54 elintg 4887 . . . . . . 7 ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑦 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 𝑦𝑠))
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → ( 𝑦 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 𝑦𝑠))
5651, 55mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 𝐺)
5756ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) → (𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))
5857ralrimiva 3103 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))
5911, 37, 583jca 1127 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺)))
60 issal 43855 . . 3 ( 𝐺 ∈ V → ( 𝐺 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))))
6130, 60syl 17 . 2 (𝜑 → ( 𝐺 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))))
6259, 61mpbird 256 1 (𝜑 𝐺 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3432  cdif 3884  wss 3887  c0 4256  𝒫 cpw 4533   cuni 4839   cint 4879   class class class wbr 5074  ωcom 7712  cdom 8731  SAlgcsalg 43849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-salg 43850
This theorem is referenced by:  salgencl  43871
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