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Theorem intsal 44561
Description: The arbitrary intersection of sigma-algebra (on the same set 𝑋) is a sigma-algebra ( on the same set 𝑋, see intsaluni 44560). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
intsal.ga (𝜑𝐺 ⊆ SAlg)
intsal.gn0 (𝜑𝐺 ≠ ∅)
intsal.x ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑠 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
intsal (𝜑 𝐺 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem intsal
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝜑)
2 intsal.ga . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ⊆ SAlg)
32sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑠 ∈ SAlg)
4 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ SAlg) → 𝑠 ∈ SAlg)
5 0sal 44551 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ SAlg → ∅ ∈ 𝑠)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ SAlg) → ∅ ∈ 𝑠)
71, 3, 6syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐺) → ∅ ∈ 𝑠)
87ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑠𝐺 ∅ ∈ 𝑠)
9 0ex 5264 . . . . 5 ∅ ∈ V
109elint2 4914 . . . 4 (∅ ∈ 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 ∅ ∈ 𝑠)
118, 10sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)
12 intsal.x . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑠 = 𝑋)
13 intsal.gn0 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ≠ ∅)
142, 13, 12intsaluni 44560 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝐺 = 𝑋)
1514eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = 𝐺)
1615adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝑋 = 𝐺)
1712, 16eqtr2d 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐺) → 𝐺 = 𝑠)
1817difeq1d 4081 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐺) → ( 𝐺𝑦) = ( 𝑠𝑦))
1918adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → ( 𝐺𝑦) = ( 𝑠𝑦))
203adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑠 ∈ SAlg)
21 elinti 4916 . . . . . . . . . 10 (𝑦 𝐺 → (𝑠𝐺𝑦𝑠))
2221imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑦 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
2322adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
24 saldifcl 44550 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ SAlg ∧ 𝑦𝑠) → ( 𝑠𝑦) ∈ 𝑠)
2520, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → ( 𝑠𝑦) ∈ 𝑠)
2619, 25eqeltrd 2838 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠)
2726ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑𝑦 𝐺) → ∀𝑠𝐺 ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠)
28 intex 5294 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ≠ ∅ ↔ 𝐺 ∈ V)
2928biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ≠ ∅ → 𝐺 ∈ V)
3013, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐺 ∈ V)
3130uniexd 7679 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐺 ∈ V)
3231difexd 5286 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 𝐺𝑦) ∈ V)
3332adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 𝐺) → ( 𝐺𝑦) ∈ V)
34 elintg 4915 . . . . . 6 (( 𝐺𝑦) ∈ V → (( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠))
3533, 34syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 𝐺) → (( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 ( 𝐺𝑦) ∈ 𝑠))
3627, 35mpbird 256 . . . 4 ((𝜑𝑦 𝐺) → ( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺)
3736ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺)
383ad4ant14 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑠 ∈ SAlg)
39 elpwi 4567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑦 𝐺)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦 𝐺)
41 intss1 4924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠𝐺 𝐺𝑠)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝐺𝑠)
4340, 42sstrd 3954 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
44 vex 3449 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
4544elpw 4564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑠𝑦𝑠)
4643, 45sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐺𝑠𝐺) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
4746adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
4847adantlr 713 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑠)
49 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦 ≼ ω)
5038, 48, 49salunicl 44547 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) ∧ 𝑠𝐺) → 𝑦𝑠)
5150ralrimiva 3143 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → ∀𝑠𝐺 𝑦𝑠)
52 vuniex 7676 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
54 elintg 4915 . . . . . . 7 ( 𝑦 ∈ V → ( 𝑦 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 𝑦𝑠))
5553, 54syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → ( 𝑦 𝐺 ↔ ∀𝑠𝐺 𝑦𝑠))
5651, 55mpbird 256 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) ∧ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 𝐺)
5756ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 𝐺) → (𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))
5857ralrimiva 3143 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))
5911, 37, 583jca 1128 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺)))
60 issal 44545 . . 3 ( 𝐺 ∈ V → ( 𝐺 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))))
6130, 60syl 17 . 2 (𝜑 → ( 𝐺 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 𝐺( 𝐺𝑦) ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝐺(𝑦 ≼ ω → 𝑦 𝐺))))
6259, 61mpbird 256 1 (𝜑 𝐺 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   cuni 4865   cint 4907   class class class wbr 5105  ωcom 7802  cdom 8881  SAlgcsalg 44539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-br 5106  df-salg 44540
This theorem is referenced by:  salgencl  44563
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