Theorem difexd 5267

Description: Existence of a difference. (Contributed by SN, 16-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
difexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
difexd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem difexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		difexg 5265	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1088  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-in 3904  df-ss 3914

This theorem is referenced by:  sexp2  8076  sexp3  8083  ralxpmap  8820  domdifsn  8973  domunsncan  8990  mapdom2  9061  acni  9936  infdif  10099  infpss  10107  enfin1ai  10275  fpwwe2  10534  canthp1lem1  10543  hashf1lem1  14362  mrieqv2d  17545  mreexexlemd  17550  dpjidcl  19972  pnrmopn  23258  cmpfi  23323  csdfil  23809  ufileu  23834  filufint  23835  alexsublem  23959  bcth3  25258  iunmbl  25481  tdeglem4  25992  fdifsupp  32666  gsummptres2  33033  tocycfv  33078  cyc3conja  33126  rprmdvdsprod  33499  esummono  34067  esumpad  34068  esumpad2  34069  insiga  34150  selvcllemh  42672  selvcllem4  42673  selvcllem5  42674  selvcl  42675  selvval2  42676  selvvvval  42677  selvadd  42680  selvmul  42681  fsuppssind  42685  tfsconcatun  43429  oaun2  43473  oaun3  43474  clcnvlem  43715  dssmapfv3d  44111  dssmapnvod  44112  ovolsplit  46085  intsal  46427  sge0ss  46509  sge0fodjrnlem  46513  iundjiun  46557  meaiunlelem  46565  iscnrm3rlem7  49045