Theorem difexd 5297

Description: Existence of a difference. (Contributed by SN, 16-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
difexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
difexd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem difexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		difexg 5295	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094

This theorem is used by:  sexp2  8187  sexp3  8194  ralxpmap  8949  domdifsn  9104  domunsncan  9121  mapdom2  9192  acni  10148  infdif  10310  infpss  10318  enfin1ai  10486  fpwwe2  10752  canthp1lem1  10761  hashf1lem1  14624  mrieqv2d  17839  mreexexlemd  17844  dpjidcl  20301  isdrng3lem2  21033  selvcllemh  22473  selvcllem4  22474  selvcllem5  22475  selvcl  22476  selvval2  22477  selvvvval  22478  selvadd  22479  selvmul  22480  pnrmopn  23688  cmpfi  23753  csdfil  24240  ufileu  24265  filufint  24266  alexsublem  24390  bcth3  25679  iunmbl  25901  tdeglem4  26405  fdifsupp  33346  gsummptres2  33681  tocycfv  33737  cyc3conja  33785  dflring4  34097  rprmdvdsprod  34133  selvascl  34216  selvply1rhmlem2  34220  selvply1rhmlem4  34222  selvply1rhm  34224  selvply1rhm0  34225  extvfvcl  34235  esummono  34753  esumpad  34754  esumpad2  34755  insiga  34837  gdlop3fv  35964  fsuppssind  43812  tfsconcatun  44529  oaun2  44573  oaun3  44574  clcnvlem  44813  dssmapfv3d  45209  dssmapnvod  45210  ovolsplit  47201  intsal  47543  sge0ss  47625  sge0fodjrnlem  47629  iundjiun  47673  meaiunlelem  47681  iscnrm3rlem7  50263