Theorem wunccl 10699

Description: The weak universe closure of a set is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
wunccl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) ∈ WUni)

Proof of Theorem wunccl

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wuncval 10697	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
2		ssrab2 4033	. . 3 ⊢ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ⊆ WUni
3		wunex 10694	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
4		rabn0 4342	. . . 4 ⊢ ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
5	3, 4	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅)
6		intwun 10690	. . 3 ⊢ (({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ⊆ WUni ∧ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅) → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ WUni)
7	2, 5, 6	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ WUni)
8	1, 7	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) ∈ WUni)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  {crab 3413   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∩ cint 4904  ‘cfv 6517  WUnicwun 10655  wUniClcwunm 10656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-wun 10657  df-wunc 10658

This theorem is referenced by:  wuncidm  10701  wuncval2  10702