MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wunccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wunccl 10528
Description: The weak universe closure of a set is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
wunccl (𝐴𝑉 → (wUniCl‘𝐴) ∈ WUni)

Proof of Theorem wunccl
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wuncval 10526 . 2 (𝐴𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢})
2 ssrab2 4016 . . 3 {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ⊆ WUni
3 wunex 10523 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴𝑢)
4 rabn0 4322 . . . 4 ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴𝑢)
53, 4sylibr 233 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ≠ ∅)
6 intwun 10519 . . 3 (({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ⊆ WUni ∧ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ≠ ∅) → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ∈ WUni)
72, 5, 6sylancr 586 . 2 (𝐴𝑉 {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴𝑢} ∈ WUni)
81, 7eqeltrd 2834 1 (𝐴𝑉 → (wUniCl‘𝐴) ∈ WUni)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2101  wne 2938  wrex 3068  {crab 3221  wss 3889  c0 4259   cint 4882  cfv 6447  WUnicwun 10484  wUniClcwunm 10485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-inf2 9427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-wun 10486  df-wunc 10487
This theorem is referenced by:  wuncidm  10530  wuncval2  10531
  Copyright terms: Public domain W3C validator