Theorem wunccl 10166

Description: The weak universe closure of a set is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
wunccl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) ∈ WUni)

Proof of Theorem wunccl

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wuncval 10164	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) = ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢})
2		ssrab2 4056	. . 3 ⊢ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ⊆ WUni
3		wunex 10161	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
4		rabn0 4339	. . . 4 ⊢ ({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 ∈ WUni 𝐴 ⊆ 𝑢)
5	3, 4	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅)
6		intwun 10157	. . 3 ⊢ (({𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ⊆ WUni ∧ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ≠ ∅) → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ WUni)
7	2, 5, 6	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∩ {𝑢 ∈ WUni ∣ 𝐴 ⊆ 𝑢} ∈ WUni)
8	1, 7	eqeltrd 2913	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (wUniCl‘𝐴) ∈ WUni)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  {crab 3142   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ∩ cint 4876  ‘cfv 6355  WUnicwun 10122  wUniClcwunm 10123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-wun 10124  df-wunc 10125

This theorem is referenced by:  wuncidm  10168  wuncval2  10169