MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem2 10370
Description: Lemma for isfin3-4 10379. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
Assertion
Ref Expression
isf34lem2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem isf34lem2
StepHypRef Expression
1 difss 4126 . . . 4 (𝐴 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝐴
2 elpw2g 5337 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 βˆ– π‘₯) βŠ† 𝐴))
31, 2mpbiri 258 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐴)
43adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝐴 βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 𝐴)
5 compss.a . 2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
64, 5fmptd 7109 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541
This theorem is referenced by:  isf34lem5  10375  isf34lem7  10376  isf34lem6  10377
  Copyright terms: Public domain W3C validator