Theorem isf34lem2 10290

Description: Lemma for isfin3-4 10299. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isf34lem2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4069	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴
2		elpw2g 5264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
4	3	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
5		compss.a	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
6	4, 5	fmptd 7059	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493

This theorem is referenced by:  isf34lem5  10295  isf34lem7  10296  isf34lem6  10297