MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem2 10413
Description: Lemma for isfin3-4 10422. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem2 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem2
StepHypRef Expression
1 difss 4136 . . . 4 (𝐴𝑥) ⊆ 𝐴
2 elpw2g 5333 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴𝑥) ⊆ 𝐴))
31, 2mpbiri 258 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
43adantr 480 . 2 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
5 compss.a . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
64, 5fmptd 7134 1 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cdif 3948  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cmpt 5225  wf 6557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565
This theorem is referenced by:  isf34lem5  10418  isf34lem7  10419  isf34lem6  10420
  Copyright terms: Public domain W3C validator