Theorem isf34lem2 10387

Description: Lemma for isfin3-4 10396. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isf34lem2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 4111	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴
2		elpw2g 5303	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴))
3	1, 2	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
5		compss.a	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
6	4, 5	fmptd 7104	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575   ↦ cmpt 5201  ⟶wf 6527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535

This theorem is referenced by:  isf34lem5  10392  isf34lem7  10393  isf34lem6  10394