Theorem isfin3-4 9492

Description: Weakly Dedekind-infinite sets are exactly those with an ω-indexed ascending chain of subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin3-4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinIII ↔ ∀𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 ↑𝑚 ω)(∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥) ⊆ (𝑓‘suc 𝑥) → ∪ ran 𝑓 ∈ ran 𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem isfin3-4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑦))
2	1	isf34lem6 9490	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinIII ↔ ∀𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 ↑𝑚 ω)(∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥) ⊆ (𝑓‘suc 𝑥) → ∪ ran 𝑓 ∈ ran 𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089   ∖ cdif 3766   ⊆ wss 3769  𝒫 cpw 4349  ∪ cuni 4628   ↦ cmpt 4922  ran crn 5313  suc csuc 5943  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ωcom 7299   ↑_𝑚 cmap 8095  Fin^IIIcfin3 9391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-rpss 7171  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-seqom 7782  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-wdom 8706  df-card 9051  df-fin4 9397  df-fin3 9398

This theorem is referenced by: (None)