Theorem isfin3-4 10069

Description: Weakly Dedekind-infinite sets are exactly those with an ω-indexed ascending chain of subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin3-4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinIII ↔ ∀𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 ↑m ω)(∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥) ⊆ (𝑓‘suc 𝑥) → ∪ ran 𝑓 ∈ ran 𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem isfin3-4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑦))
2	1	isf34lem6 10067	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ FinIII ↔ ∀𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 ↑m ω)(∀𝑥 ∈ ω (𝑓‘𝑥) ⊆ (𝑓‘suc 𝑥) → ∪ ran 𝑓 ∈ ran 𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  suc csuc 6253  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687   ↑_m cmap 8573  Fin^IIIcfin3 9968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-rpss 7554  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-seqom 8249  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-wdom 9254  df-card 9628  df-fin4 9974  df-fin3 9975

This theorem is referenced by: (None)