MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem5 9793
Description: Lemma for isfin3-4 9797. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem5
StepHypRef Expression
1 imassrn 5911 . . . . . . 7 (𝐹𝑋) ⊆ ran 𝐹
2 compss.a . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32isf34lem2 9788 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
43adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
54frnd 6498 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
61, 5sstrid 3929 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴)
7 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
84fdmd 6501 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
97, 8sseqtrrd 3959 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ dom 𝐹)
10 sseqin2 4145 . . . . . . . . 9 (𝑋 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
119, 10sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
12 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
1311, 12eqnetrd 3057 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
14 imadisj 5919 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑋) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) = ∅)
1514necon3bii 3042 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
1613, 15sylibr 237 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
176, 16jca 515 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅))
182isf34lem4 9792 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
1917, 18syldan 594 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
202isf34lem3 9790 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2120adantrr 716 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2221inteqd 4846 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2319, 22eqtrd 2836 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2423fveq2d 6653 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹 𝑋))
252compsscnv 9786 . . . 4 𝐹 = 𝐹
2625fveq1i 6650 . . 3 (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋)))
272compssiso 9789 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
28 isof1o 7059 . . . . 5 (𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
30 sspwuni 4988 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
316, 30sylib 221 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
32 elpw2g 5214 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3332adantr 484 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3431, 33mpbird 260 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴)
35 f1ocnvfv1 7015 . . . 4 ((𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3629, 34, 35syl2an2r 684 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3726, 36syl5eqr 2850 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3824, 37eqtr3d 2838 1 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cdif 3881  cin 3883  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500   cuni 4803   cint 4841  cmpt 5113  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  cima 5526  wf 6324  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328   Isom wiso 6329   [] crpss 7432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-rpss 7433
This theorem is referenced by:  isf34lem7  9794
  Copyright terms: Public domain W3C validator