MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem5 10214
Description: Lemma for isfin3-4 10218. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem5
StepHypRef Expression
1 imassrn 5998 . . . . . . 7 (𝐹𝑋) ⊆ ran 𝐹
2 compss.a . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32isf34lem2 10209 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
54frnd 6646 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
61, 5sstrid 3942 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴)
7 simprl 768 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
84fdmd 6649 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
97, 8sseqtrrd 3972 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ dom 𝐹)
10 sseqin2 4160 . . . . . . . . 9 (𝑋 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
119, 10sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
12 simprr 770 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
1311, 12eqnetrd 3009 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
14 imadisj 6006 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑋) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) = ∅)
1514necon3bii 2994 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
1613, 15sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
176, 16jca 512 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅))
182isf34lem4 10213 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
1917, 18syldan 591 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
202isf34lem3 10211 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2120adantrr 714 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2221inteqd 4897 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2319, 22eqtrd 2777 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2423fveq2d 6816 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹 𝑋))
252compsscnv 10207 . . . 4 𝐹 = 𝐹
2625fveq1i 6813 . . 3 (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋)))
272compssiso 10210 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
28 isof1o 7234 . . . . 5 (𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
30 sspwuni 5042 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
316, 30sylib 217 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
32 elpw2g 5283 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3332adantr 481 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3431, 33mpbird 256 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴)
35 f1ocnvfv1 7188 . . . 4 ((𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3629, 34, 35syl2an2r 682 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3726, 36eqtr3id 2791 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3824, 37eqtr3d 2779 1 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  cdif 3894  cin 3896  wss 3897  c0 4267  𝒫 cpw 4545   cuni 4850   cint 4892  cmpt 5170  ccnv 5607  dom cdm 5608  ran crn 5609  cima 5611  wf 6462  1-1-ontowf1o 6465  cfv 6466   Isom wiso 6467   [] crpss 7617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pr 5367
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3443  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-rpss 7618
This theorem is referenced by:  isf34lem7  10215
  Copyright terms: Public domain W3C validator