MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isf34lem5 10373
Description: Lemma for isfin3-4 10377. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
Assertion
Ref Expression
isf34lem5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© 𝑋) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝑋(π‘₯)
Proof of Theorem isf34lem5
StepHypRef Expression
1 imassrn 6071 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ran 𝐹
2 compss.a . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
32isf34lem2 10368 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
43adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
54frnd 6726 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐴)
61, 5sstrid 3994 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝒫 𝐴)
7 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴)
84fdmd 6729 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
97, 8sseqtrrd 4024 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 βŠ† dom 𝐹)
10 sseqin2 4216 . . . . . . . . 9 (𝑋 βŠ† dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) = 𝑋)
119, 10sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) = 𝑋)
12 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1311, 12eqnetrd 3009 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) β‰  βˆ…)
14 imadisj 6080 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ 𝑋) = βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) = βˆ…)
1514necon3bii 2994 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) β‰  βˆ…)
1613, 15sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) β‰  βˆ…)
176, 16jca 513 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹 β€œ 𝑋) β‰  βˆ…))
182isf34lem4 10372 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹 β€œ 𝑋) β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋)) = ∩ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)))
1917, 18syldan 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋)) = ∩ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)))
202isf34lem3 10370 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)) = 𝑋)
2120adantrr 716 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)) = 𝑋)
2221inteqd 4956 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)) = ∩ 𝑋)
2319, 22eqtrd 2773 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋)) = ∩ 𝑋)
2423fveq2d 6896 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = (πΉβ€˜βˆ© 𝑋))
252compsscnv 10366 . . . 4 ◑𝐹 = 𝐹
2625fveq1i 6893 . . 3 (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = (πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋)))
272compssiso 10369 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Isom [⊊] , β—‘ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
28 isof1o 7320 . . . . 5 (𝐹 Isom [⊊] , β—‘ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) β†’ 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴)
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴)
30 sspwuni 5104 . . . . . 6 ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝐴)
316, 30sylib 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝐴)
32 elpw2g 5345 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝐴))
3332adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝐴))
3431, 33mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ 𝒫 𝐴)
35 f1ocnvfv1 7274 . . . 4 ((𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
3629, 34, 35syl2an2r 684 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
3726, 36eqtr3id 2787 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
3824, 37eqtr3d 2775 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© 𝑋) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆ© cint 4951   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545   [⊊] crpss 7712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-rpss 7713
This theorem is referenced by:  isf34lem7  10374
  Copyright terms: Public domain W3C validator