MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isf34lem5 10369
Description: Lemma for isfin3-4 10373. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
Assertion
Ref Expression
isf34lem5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© 𝑋) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝑋(π‘₯)
Proof of Theorem isf34lem5
StepHypRef Expression
1 imassrn 6068 . . . . . . 7 (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† ran 𝐹
2 compss.a . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
32isf34lem2 10364 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
54frnd 6722 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐴)
61, 5sstrid 3992 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝒫 𝐴)
7 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴)
84fdmd 6725 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
97, 8sseqtrrd 4022 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 βŠ† dom 𝐹)
10 sseqin2 4214 . . . . . . . . 9 (𝑋 βŠ† dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) = 𝑋)
119, 10sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) = 𝑋)
12 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1311, 12eqnetrd 3008 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) β‰  βˆ…)
14 imadisj 6076 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ 𝑋) = βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) = βˆ…)
1514necon3bii 2993 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ 𝑋) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ 𝑋) β‰  βˆ…)
1613, 15sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑋) β‰  βˆ…)
176, 16jca 512 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹 β€œ 𝑋) β‰  βˆ…))
182isf34lem4 10368 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹 β€œ 𝑋) β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋)) = ∩ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)))
1917, 18syldan 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋)) = ∩ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)))
202isf34lem3 10366 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)) = 𝑋)
2120adantrr 715 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)) = 𝑋)
2221inteqd 4954 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ ∩ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ 𝑋)) = ∩ 𝑋)
2319, 22eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋)) = ∩ 𝑋)
2423fveq2d 6892 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = (πΉβ€˜βˆ© 𝑋))
252compsscnv 10362 . . . 4 ◑𝐹 = 𝐹
2625fveq1i 6889 . . 3 (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = (πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋)))
272compssiso 10365 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 Isom [⊊] , β—‘ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
28 isof1o 7316 . . . . 5 (𝐹 Isom [⊊] , β—‘ [⊊] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) β†’ 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴)
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴)
30 sspwuni 5102 . . . . . 6 ((𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝐴)
316, 30sylib 217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝐴)
32 elpw2g 5343 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝐴))
3332adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) βŠ† 𝐴))
3431, 33mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ 𝒫 𝐴)
35 f1ocnvfv1 7270 . . . 4 ((𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→𝒫 𝐴 ∧ βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋) ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
3629, 34, 35syl2an2r 683 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
3726, 36eqtr3id 2786 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜(πΉβ€˜βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
3824, 37eqtr3d 2774 1 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© 𝑋) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540   Isom wiso 6541   [⊊] crpss 7708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-rpss 7709
This theorem is referenced by:  isf34lem7  10370
  Copyright terms: Public domain W3C validator