MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem5 10415
Description: Lemma for isfin3-4 10419. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem5
StepHypRef Expression
1 imassrn 6090 . . . . . . 7 (𝐹𝑋) ⊆ ran 𝐹
2 compss.a . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32isf34lem2 10410 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
43adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
54frnd 6744 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
61, 5sstrid 4006 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴)
7 simprl 771 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
84fdmd 6746 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
97, 8sseqtrrd 4036 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ dom 𝐹)
10 sseqin2 4230 . . . . . . . . 9 (𝑋 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
119, 10sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
12 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
1311, 12eqnetrd 3005 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
14 imadisj 6099 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑋) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) = ∅)
1514necon3bii 2990 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
1613, 15sylibr 234 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
176, 16jca 511 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅))
182isf34lem4 10414 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
1917, 18syldan 591 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
202isf34lem3 10412 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2120adantrr 717 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2221inteqd 4955 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2319, 22eqtrd 2774 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2423fveq2d 6910 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹 𝑋))
252compsscnv 10408 . . . 4 𝐹 = 𝐹
2625fveq1i 6907 . . 3 (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋)))
272compssiso 10411 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
28 isof1o 7342 . . . . 5 (𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
30 sspwuni 5104 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
316, 30sylib 218 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
32 elpw2g 5338 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3332adantr 480 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3431, 33mpbird 257 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴)
35 f1ocnvfv1 7295 . . . 4 ((𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3629, 34, 35syl2an2r 685 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3726, 36eqtr3id 2788 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3824, 37eqtr3d 2776 1 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604   cuni 4911   cint 4950  cmpt 5230  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562   Isom wiso 6563   [] crpss 7740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-rpss 7741
This theorem is referenced by:  isf34lem7  10416
  Copyright terms: Public domain W3C validator