MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem5 9488
Description: Lemma for isfin3-4 9492. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem5
StepHypRef Expression
1 imassrn 5694 . . . . . . 7 (𝐹𝑋) ⊆ ran 𝐹
2 compss.a . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32isf34lem2 9483 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
43adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝐹:𝒫 𝐴⟶𝒫 𝐴)
54frnd 6263 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝐴)
61, 5syl5ss 3809 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴)
7 simprl 788 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
84fdmd 6265 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
97, 8sseqtr4d 3838 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ⊆ dom 𝐹)
10 sseqin2 4015 . . . . . . . . 9 (𝑋 ⊆ dom 𝐹 ↔ (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
119, 10sylib 210 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) = 𝑋)
12 simprr 790 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
1311, 12eqnetrd 3038 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
14 imadisj 5701 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑋) = ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) = ∅)
1514necon3bii 3023 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹𝑋) ≠ ∅)
1613, 15sylibr 226 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ≠ ∅)
176, 16jca 508 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅))
182isf34lem4 9487 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹𝑋) ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
1917, 18syldan 586 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = (𝐹 “ (𝐹𝑋)))
202isf34lem3 9485 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2120adantrr 709 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2221inteqd 4672 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 “ (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2319, 22eqtrd 2833 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 (𝐹𝑋)) = 𝑋)
2423fveq2d 6415 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹 𝑋))
252compsscnv 9481 . . . 4 𝐹 = 𝐹
2625fveq1i 6412 . . 3 (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋)))
272compssiso 9484 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴))
28 isof1o 6801 . . . . . 6 (𝐹 Isom [] , [] (𝒫 𝐴, 𝒫 𝐴) → 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
3029adantr 473 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴)
31 sspwuni 4802 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
326, 31sylib 210 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴)
33 elpw2g 5019 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3433adantr 473 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ( (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐴))
3532, 34mpbird 249 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴)
36 f1ocnvfv1 6760 . . . 4 ((𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→𝒫 𝐴 (𝐹𝑋) ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3730, 35, 36syl2anc 580 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3826, 37syl5eqr 2847 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘(𝐹 (𝐹𝑋))) = (𝐹𝑋))
3924, 38eqtr3d 2835 1 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  cdif 3766  cin 3768  wss 3769  c0 4115  𝒫 cpw 4349   cuni 4628   cint 4667  cmpt 4922  ccnv 5311  dom cdm 5312  ran crn 5313  cima 5315  wf 6097  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101   Isom wiso 6102   [] crpss 7170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-rpss 7171
This theorem is referenced by:  isf34lem7  9489
  Copyright terms: Public domain W3C validator