MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem7 10339
Description: Lemma for isfin3-4 10342. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
Assertion
Ref Expression
isf34lem7 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ βˆͺ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem isf34lem7
StepHypRef Expression
1 compss.a . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
21isf34lem2 10333 . . . . . 6 (𝐴 ∈ FinIII β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
433adant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
54ffnd 6689 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
6 imassrn 6044 . . . 4 (𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† ran 𝐹
73frnd 6696 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐴)
873adant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐴)
96, 8sstrid 3973 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ (𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† 𝒫 𝐴)
10 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ FinIII)
11 fco 6712 . . . . . . 7 ((𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴 ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):Ο‰βŸΆπ’« 𝐴)
122, 11sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):Ο‰βŸΆπ’« 𝐴)
13123adant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):Ο‰βŸΆπ’« 𝐴)
14 sscon 4118 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦) β†’ (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)) βŠ† (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦)))
15 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴)
16 peano2 7847 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝑦 ∈ Ο‰)
17 fvco3 6960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ suc 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜suc 𝑦)))
1815, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜suc 𝑦)))
19 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ 𝐴 ∈ FinIII)
20 ffvelcdm 7052 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ suc 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜suc 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
2115, 16, 20syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜suc 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
2221elpwid 4589 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜suc 𝑦) βŠ† 𝐴)
231isf34lem1 10332 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ (πΊβ€˜suc 𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜suc 𝑦)) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)))
2419, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜suc 𝑦)) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)))
2518, 24eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)))
26 fvco3 6960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
2726adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
28 ffvelcdm 7052 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝒫 𝐴)
2928adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝒫 𝐴)
3029elpwid 4589 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴)
311isf34lem1 10332 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦)))
3219, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦)))
3327, 32eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦)))
3425, 33sseq12d 3995 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) ↔ (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)) βŠ† (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦))))
3514, 34imbitrrid 245 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)))
3635ralimdva 3166 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)))
37363impia 1117 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦))
38 fin33i 10329 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) β†’ ∩ ran (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ran (𝐹 ∘ 𝐺))
3910, 13, 37, 38syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ ∩ ran (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ran (𝐹 ∘ 𝐺))
40 rnco2 6225 . . . . 5 ran (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 β€œ ran 𝐺)
4140inteqi 4931 . . . 4 ∩ ran (𝐹 ∘ 𝐺) = ∩ (𝐹 β€œ ran 𝐺)
4239, 41, 403eltr3g 2848 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ ∩ (𝐹 β€œ ran 𝐺) ∈ (𝐹 β€œ ran 𝐺))
43 fnfvima 7203 . . 3 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ ∩ (𝐹 β€œ ran 𝐺) ∈ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ∈ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)))
445, 9, 42, 43syl3anc 1371 . 2 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ∈ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)))
45 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ FinIII)
466, 7sstrid 3973 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† 𝒫 𝐴)
47 incom 4181 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) = (ran 𝐺 ∩ dom 𝐹)
48 frn 6695 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝒫 𝐴)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝒫 𝐴)
503fdmd 6699 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
5149, 50sseqtrrd 4003 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ran 𝐺 βŠ† dom 𝐹)
52 df-ss 3945 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐺 βŠ† dom 𝐹 ↔ (ran 𝐺 ∩ dom 𝐹) = ran 𝐺)
5351, 52sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (ran 𝐺 ∩ dom 𝐹) = ran 𝐺)
5447, 53eqtrid 2783 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ran 𝐺)
55 fdm 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 β†’ dom 𝐺 = Ο‰)
5655adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ dom 𝐺 = Ο‰)
57 peano1 7845 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ Ο‰
58 ne0i 4314 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… ∈ Ο‰ β†’ Ο‰ β‰  βˆ…)
5957, 58mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ Ο‰ β‰  βˆ…)
6056, 59eqnetrd 3007 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ dom 𝐺 β‰  βˆ…)
61 dm0rn0 5900 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐺 = βˆ… ↔ ran 𝐺 = βˆ…)
6261necon3bii 2992 . . . . . . . . 9 (dom 𝐺 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
6360, 62sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
6454, 63eqnetrd 3007 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) β‰  βˆ…)
65 imadisj 6052 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ ran 𝐺) = βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) = βˆ…)
6665necon3bii 2992 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ ran 𝐺) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) β‰  βˆ…)
6764, 66sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ ran 𝐺) β‰  βˆ…)
681isf34lem5 10338 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ ((𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹 β€œ ran 𝐺) β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)))
6945, 46, 67, 68syl12anc 835 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)))
701isf34lem3 10335 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ ran 𝐺 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = ran 𝐺)
7145, 49, 70syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = ran 𝐺)
7271unieqd 4899 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = βˆͺ ran 𝐺)
7369, 72eqtrd 2771 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = βˆͺ ran 𝐺)
7473, 71eleq12d 2826 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ∈ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ↔ βˆͺ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺))
75743adant3 1132 . 2 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ∈ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ↔ βˆͺ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺))
7644, 75mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ βˆͺ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3925   ∩ cin 3927   βŠ† wss 3928  βˆ…c0 4302  π’« cpw 4580  βˆͺ cuni 4885  βˆ© cint 4927   ↦ cmpt 5208  dom cdm 5653  ran crn 5654   β€œ cima 5656   ∘ ccom 5657  suc csuc 6339   Fn wfn 6511  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  Ο‰com 7822  FinIIIcfin3 10241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-rpss 7680  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-wdom 9525  df-card 9899  df-fin4 10247  df-fin3 10248
This theorem is referenced by:  isf34lem6  10340  fin34i  10341
  Copyright terms: Public domain W3C validator