MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem7 10376
Description: Lemma for isfin3-4 10379. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
Assertion
Ref Expression
isf34lem7 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ βˆͺ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem isf34lem7
StepHypRef Expression
1 compss.a . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 βˆ– π‘₯))
21isf34lem2 10370 . . . . . 6 (𝐴 ∈ FinIII β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
433adant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ 𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴)
54ffnd 6718 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
6 imassrn 6070 . . . 4 (𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† ran 𝐹
73frnd 6725 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐴)
873adant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝐴)
96, 8sstrid 3993 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ (𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† 𝒫 𝐴)
10 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ FinIII)
11 fco 6741 . . . . . . 7 ((𝐹:𝒫 π΄βŸΆπ’« 𝐴 ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):Ο‰βŸΆπ’« 𝐴)
122, 11sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):Ο‰βŸΆπ’« 𝐴)
13123adant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):Ο‰βŸΆπ’« 𝐴)
14 sscon 4138 . . . . . . . 8 ((πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦) β†’ (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)) βŠ† (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦)))
15 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴)
16 peano2 7883 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝑦 ∈ Ο‰)
17 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ suc 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜suc 𝑦)))
1815, 16, 17syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜suc 𝑦)))
19 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ 𝐴 ∈ FinIII)
20 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ suc 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜suc 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
2115, 16, 20syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜suc 𝑦) ∈ 𝒫 𝐴)
2221elpwid 4611 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜suc 𝑦) βŠ† 𝐴)
231isf34lem1 10369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ (πΊβ€˜suc 𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜suc 𝑦)) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)))
2419, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜suc 𝑦)) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)))
2518, 24eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)))
26 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
2726adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)))
28 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝒫 𝐴)
2928adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ 𝒫 𝐴)
3029elpwid 4611 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴)
311isf34lem1 10369 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦)))
3219, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘¦)) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦)))
3327, 32eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) = (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦)))
3425, 33sseq12d 4015 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ (((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦) ↔ (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜suc 𝑦)) βŠ† (𝐴 βˆ– (πΊβ€˜π‘¦))))
3514, 34imbitrrid 245 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Ο‰) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)))
3635ralimdva 3167 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)))
37363impia 1117 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦))
38 fin33i 10366 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ (𝐹 ∘ 𝐺):Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜suc 𝑦) βŠ† ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘¦)) β†’ ∩ ran (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ran (𝐹 ∘ 𝐺))
3910, 13, 37, 38syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ ∩ ran (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ ran (𝐹 ∘ 𝐺))
40 rnco2 6252 . . . . 5 ran (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 β€œ ran 𝐺)
4140inteqi 4954 . . . 4 ∩ ran (𝐹 ∘ 𝐺) = ∩ (𝐹 β€œ ran 𝐺)
4239, 41, 403eltr3g 2849 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ ∩ (𝐹 β€œ ran 𝐺) ∈ (𝐹 β€œ ran 𝐺))
43 fnfvima 7237 . . 3 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ ∩ (𝐹 β€œ ran 𝐺) ∈ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ∈ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)))
445, 9, 42, 43syl3anc 1371 . 2 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ∈ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)))
45 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ FinIII)
466, 7sstrid 3993 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† 𝒫 𝐴)
47 incom 4201 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) = (ran 𝐺 ∩ dom 𝐹)
48 frn 6724 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝒫 𝐴)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝒫 𝐴)
503fdmd 6728 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ dom 𝐹 = 𝒫 𝐴)
5149, 50sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ran 𝐺 βŠ† dom 𝐹)
52 df-ss 3965 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐺 βŠ† dom 𝐹 ↔ (ran 𝐺 ∩ dom 𝐹) = ran 𝐺)
5351, 52sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (ran 𝐺 ∩ dom 𝐹) = ran 𝐺)
5447, 53eqtrid 2784 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) = ran 𝐺)
55 fdm 6726 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 β†’ dom 𝐺 = Ο‰)
5655adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ dom 𝐺 = Ο‰)
57 peano1 7881 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ Ο‰
58 ne0i 4334 . . . . . . . . . . 11 (βˆ… ∈ Ο‰ β†’ Ο‰ β‰  βˆ…)
5957, 58mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ Ο‰ β‰  βˆ…)
6056, 59eqnetrd 3008 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ dom 𝐺 β‰  βˆ…)
61 dm0rn0 5924 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐺 = βˆ… ↔ ran 𝐺 = βˆ…)
6261necon3bii 2993 . . . . . . . . 9 (dom 𝐺 β‰  βˆ… ↔ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
6360, 62sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ran 𝐺 β‰  βˆ…)
6454, 63eqnetrd 3008 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) β‰  βˆ…)
65 imadisj 6079 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ ran 𝐺) = βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) = βˆ…)
6665necon3bii 2993 . . . . . . 7 ((𝐹 β€œ ran 𝐺) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝐹 ∩ ran 𝐺) β‰  βˆ…)
6764, 66sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ ran 𝐺) β‰  βˆ…)
681isf34lem5 10375 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ ((𝐹 β€œ ran 𝐺) βŠ† 𝒫 𝐴 ∧ (𝐹 β€œ ran 𝐺) β‰  βˆ…)) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)))
6945, 46, 67, 68syl12anc 835 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)))
701isf34lem3 10372 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ ran 𝐺 βŠ† 𝒫 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = ran 𝐺)
7145, 49, 70syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = ran 𝐺)
7271unieqd 4922 . . . . 5 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = βˆͺ ran 𝐺)
7369, 72eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ (πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) = βˆͺ ran 𝐺)
7473, 71eleq12d 2827 . . 3 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ∈ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ↔ βˆͺ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺))
75743adant3 1132 . 2 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜βˆ© (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ∈ (𝐹 β€œ (𝐹 β€œ ran 𝐺)) ↔ βˆͺ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺))
7644, 75mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:Ο‰βŸΆπ’« 𝐴 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ Ο‰ (πΊβ€˜π‘¦) βŠ† (πΊβ€˜suc 𝑦)) β†’ βˆͺ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4950   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  suc csuc 6366   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7857  FinIIIcfin3 10278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-rpss 7715  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-wdom 9562  df-card 9936  df-fin4 10284  df-fin3 10285
This theorem is referenced by:  isf34lem6  10377  fin34i  10378
  Copyright terms: Public domain W3C validator