Theorem istps2 22910

Description: Express the predicate "is a topological space." (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
istps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
istps.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
istps2	⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))

Proof of Theorem istps2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
2		istps.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps 22909	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
4		istopon 22887	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
5	3, 4	bitri 275	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  TopOpenctopn 17375  Topctop 22868  TopOnctopon 22885  TopSpctps 22907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908

This theorem is referenced by:  tpsuni  22911  tpstop  22912  istpsi  22917