Theorem tpstop 23261

Description: The topology extractor on a topological space is a topology. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpstop.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tpstop	⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem tpstop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tpstop.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps2 23259	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (Base‘𝐾) = ∪ 𝐽))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  TopOpenctopn 17598  Topctop 23217  TopSpctps 23256

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257

This theorem is used by:  mreclatdemoBAD  23420  prdstmdd  24449  invrcn  24506  cnextucn  24627  prdsxmslem2  24854  rlmbn  25688  sibfinima  35018  sibfof  35019  rrxtop  47393