Theorem tpstop 22439

Description: The topology extractor on a topological space is a topology. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpstop.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tpstop	⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem tpstop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tpstop.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps2 22437	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (Base‘𝐾) = ∪ 𝐽))
4	3	simplbi 499	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  TopOpenctopn 17367  Topctop 22395  TopSpctps 22434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435

This theorem is referenced by:  mreclatdemoBAD  22600  prdstmdd  23628  invrcn  23685  cnextucn  23808  prdsxmslem2  24038  rlmbn  24878  sibfinima  33338  sibfof  33339  rrxtop  45005