Theorem tpstop 23131

Description: The topology extractor on a topological space is a topology. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpstop.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tpstop	⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem tpstop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tpstop.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps2 23129	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (Base‘𝐾) = ∪ 𝐽))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4877  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  TopOpenctopn 17499  Topctop 23087  TopSpctps 23126

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127

This theorem is used by:  mreclatdemoBAD  23290  prdstmdd  24318  invrcn  24375  cnextucn  24496  prdsxmslem2  24723  rlmbn  25557  sibfinima  34761  sibfof  34762  rrxtop  47044