Theorem tpstop 22943

Description: The topology extractor on a topological space is a topology. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpstop.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tpstop	⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem tpstop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tpstop.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps2 22941	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (Base‘𝐾) = ∪ 𝐽))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4907  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  TopOpenctopn 17466  Topctop 22899  TopSpctps 22938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939

This theorem is referenced by:  mreclatdemoBAD  23104  prdstmdd  24132  invrcn  24189  cnextucn  24312  prdsxmslem2  24542  rlmbn  25395  sibfinima  34341  sibfof  34342  rrxtop  46304