Theorem tpstop 22959

Description: The topology extractor on a topological space is a topology. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tpstop.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tpstop	⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem tpstop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		tpstop.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps2 22957	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (Base‘𝐾) = ∪ 𝐽))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  TopOpenctopn 17468  Topctop 22915  TopSpctps 22954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955

This theorem is referenced by:  mreclatdemoBAD  23120  prdstmdd  24148  invrcn  24205  cnextucn  24328  prdsxmslem2  24558  rlmbn  25409  sibfinima  34321  sibfof  34322  rrxtop  46245