Theorem istpsi 23136

Description: Properties that determine a topological space. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
istpsi.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
istpsi.j	⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
istpsi.1	⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
istpsi.2	⊢ 𝐽 ∈ Top

Assertion

Ref	Expression
istpsi	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem istpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istpsi.2	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
2		istpsi.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
3		istpsi.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
4	3	eqcomi 2775	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
5		istpsi.j	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
6	5	eqcomi 2775	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
7	4, 6	istps2 23129	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
8	1, 2, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4877  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  TopOpenctopn 17499  Topctop 23087  TopSpctps 23126

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127

This theorem is used by:  indistps2  23206