Theorem istpsi 23293

Description: Properties that determine a topological space. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
istpsi.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
istpsi.j	⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
istpsi.1	⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
istpsi.2	⊢ 𝐽 ∈ Top

Assertion

Ref	Expression
istpsi	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem istpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istpsi.2	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
2		istpsi.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
3		istpsi.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
4	3	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
5		istpsi.j	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
6	5	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
7	4, 6	istps2 23286	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
8	1, 2, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  TopOpenctopn 17624  Topctop 23244  TopSpctps 23283

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284

This theorem is used by:  indistps2  23363