Theorem istpsi 23240

Description: Properties that determine a topological space. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
istpsi.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
istpsi.j	⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
istpsi.1	⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
istpsi.2	⊢ 𝐽 ∈ Top

Assertion

Ref	Expression
istpsi	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem istpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istpsi.2	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
2		istpsi.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
3		istpsi.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
4	3	eqcomi 2770	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
5		istpsi.j	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
6	5	eqcomi 2770	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
7	4, 6	istps2 23233	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
8	1, 2, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  TopOpenctopn 17572  Topctop 23191  TopSpctps 23230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231

This theorem is used by:  indistps2  23310