Theorem istpsi 23173

Description: Properties that determine a topological space. (Contributed by NM, 20-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
istpsi.b	⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
istpsi.j	⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
istpsi.1	⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
istpsi.2	⊢ 𝐽 ∈ Top

Assertion

Ref	Expression
istpsi	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem istpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istpsi.2	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ Top
2		istpsi.1	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
3		istpsi.b	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = 𝐴
4	3	eqcomi 2771	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
5		istpsi.j	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = 𝐽
6	5	eqcomi 2771	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
7	4, 6	istps2 23166	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
8	1, 2, 7	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  TopOpenctopn 17512  Topctop 23124  TopSpctps 23163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164

This theorem is used by:  indistps2  23243