Theorem tpsuni 22892

Description: The base set of a topological space. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
istps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
istps.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tpsuni	⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem tpsuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
2		istps.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps2 22891	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
4	3	simprbi 497	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  TopOpenctopn 17353  Topctop 22849  TopSpctps 22888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889

This theorem is referenced by:  mreclatdemoBAD  23052  haustsms  24092  cnextucn  24258  ressxms  24481  rlmbn  25329  rrhf  34175  esumcocn  34257  sibf0  34511  sibfof  34517  sitgclg  34519  sitgaddlemb  34525  sitmcl  34528  binomcxplemdvbinom  44703  binomcxplemnotnn0  44706  qndenserrn  46651