MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpsuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tpsuni 22301
Description: The base set of a topological space. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
istps.a 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ)
istps.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
tpsuni (𝐾 ∈ TopSp β†’ 𝐴 = βˆͺ 𝐽)

Proof of Theorem tpsuni
StepHypRef Expression
1 istps.a . . 3 𝐴 = (Baseβ€˜πΎ)
2 istps.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΎ)
31, 2istps2 22300 . 2 (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = βˆͺ 𝐽))
43simprbi 498 1 (𝐾 ∈ TopSp β†’ 𝐴 = βˆͺ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆͺ cuni 4866  β€˜cfv 6497  Basecbs 17088  TopOpenctopn 17308  Topctop 22258  TopSpctps 22297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298
This theorem is referenced by:  mreclatdemoBAD  22463  haustsms  23503  cnextucn  23671  ressxms  23897  rlmbn  24741  rrhf  32636  esumcocn  32736  sibf0  32991  sibfof  32997  sitgclg  32999  sitgaddlemb  33005  sitmcl  33008  binomcxplemdvbinom  42721  binomcxplemnotnn0  42724  qndenserrn  44626
  Copyright terms: Public domain W3C validator