MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpsuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tpsuni 21159
Description: The base set of a topological space. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
istps.a 𝐴 = (Base‘𝐾)
istps.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tpsuni (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = 𝐽)

Proof of Theorem tpsuni
StepHypRef Expression
1 istps.a . . 3 𝐴 = (Base‘𝐾)
2 istps.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
31, 2istps2 21158 . 2 (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = 𝐽))
43simprbi 492 1 (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107   cuni 4673  cfv 6137  Basecbs 16266  TopOpenctopn 16479  Topctop 21116  TopSpctps 21155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fv 6145  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156
This theorem is referenced by:  mreclatdemoBAD  21319  haustsms  22358  cnextucn  22526  ressxms  22749  rlmbn  23578  rrhf  30648  esumcocn  30748  sibf0  31002  sibfof  31008  sitgclg  31010  sitgaddlemb  31016  sitmcl  31019  binomcxplemdvbinom  39522  binomcxplemnotnn0  39525  qndenserrn  41457
  Copyright terms: Public domain W3C validator