Theorem tpsuni 22879

Description: The base set of a topological space. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
istps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
istps.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tpsuni	⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem tpsuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
2		istps.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps2 22878	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
4	3	simprbi 496	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4888  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  TopOpenctopn 17440  Topctop 22836  TopSpctps 22875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876

This theorem is referenced by:  mreclatdemoBAD  23039  haustsms  24079  cnextucn  24246  ressxms  24469  rlmbn  25318  rrhf  34034  esumcocn  34116  sibf0  34371  sibfof  34377  sitgclg  34379  sitgaddlemb  34385  sitmcl  34388  binomcxplemdvbinom  44344  binomcxplemnotnn0  44347  qndenserrn  46295