Theorem tpsuni 23247

Description: The base set of a topological space. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
istps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
istps.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tpsuni	⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem tpsuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
2		istps.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps2 23246	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
4	3	simprbi 503	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = ∪ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  TopOpenctopn 17585  Topctop 23204  TopSpctps 23243

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244

This theorem is used by:  mreclatdemoBAD  23407  haustsms  24448  cnextucn  24614  ressxms  24837  rlmbn  25675  rrhf  34623  esumcocn  34705  sibf0  34959  sibfof  34965  sitgclg  34967  sitgaddlemb  34973  sitmcl  34976  binomcxplemdvbinom  45322  binomcxplemnotnn0  45325  qndenserrn  47278