Theorem tpsuni 22963

Description: The base set of a topological space. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
istps.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
istps.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tpsuni	⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = ∪ 𝐽)

Proof of Theorem tpsuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐾)
2		istps.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
3	1, 2	istps2 22962	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 = ∪ 𝐽))
4	3	simprbi 496	1 ⊢ (𝐾 ∈ TopSp → 𝐴 = ∪ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  TopOpenctopn 17481  Topctop 22920  TopSpctps 22959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960

This theorem is referenced by:  mreclatdemoBAD  23125  haustsms  24165  cnextucn  24333  ressxms  24559  rlmbn  25414  rrhf  33944  esumcocn  34044  sibf0  34299  sibfof  34305  sitgclg  34307  sitgaddlemb  34313  sitmcl  34316  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemnotnn0  44325  qndenserrn  46220