Theorem limon 7833

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7777	. 2 ⊢ Ord On
2		onn0 6429	. 2 ⊢ On ≠ ∅
3		unon 7828	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2772	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		df-lim 6367	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ On ≠ ∅ ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1360	1 ⊢ Lim On

Syntax hints:   = wceq 1570   ≠ wne 2958  ∅c0 4287  ∪ cuni 4873  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368

This theorem is referenced by:  limom  7879  oesuc  8513  limensuc  9143  limsucncmp  36938  dflim5  44039