Theorem limon 7833

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7773	. 2 ⊢ Ord On
2		onn0 6428	. 2 ⊢ On ≠ ∅
3		unon 7828	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2737	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		df-lim 6368	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ On ≠ ∅ ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1339	1 ⊢ Lim On

Syntax hints:   = wceq 1534   ≠ wne 2936  ∅c0 4318  ∪ cuni 4903  Ord word 6362  Oncon0 6363  Lim wlim 6364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369

This theorem is referenced by:  limom  7880  oesuc  8541  limensuc  9172  limsucncmp  35924  dflim5  42752