Theorem limon 7812

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7756	. 2 ⊢ Ord On
2		onn0 6408	. 2 ⊢ On ≠ ∅
3		unon 7807	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2770	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		df-lim 6347	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ On ≠ ∅ ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1354	1 ⊢ Lim On

Syntax hints:   = wceq 1559   ≠ wne 2956  ∅c0 4285  ∪ cuni 4864  Ord word 6341  Oncon0 6342  Lim wlim 6343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-tr 5207  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348

This theorem is referenced by:  limom  7858  oesuc  8491  limensuc  9122  limsucncmp  36770  dflim5  43870