Theorem limon 7783

Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)

Assertion

Ref	Expression
limon	⊢ Lim On

Proof of Theorem limon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 7727	. 2 ⊢ Ord On
2		onn0 6383	. 2 ⊢ On ≠ ∅
3		unon 7778	. . 3 ⊢ ∪ On = On
4	3	eqcomi 2749	. 2 ⊢ On = ∪ On
5		df-lim 6322	. 2 ⊢ (Lim On ↔ (Ord On ∧ On ≠ ∅ ∧ On = ∪ On))
6	1, 2, 4, 5	mpbir3an 1348	1 ⊢ Lim On

Syntax hints:   = wceq 1547   ≠ wne 2935  ∅c0 4268  ∪ cuni 4845  Ord word 6316  Oncon0 6317  Lim wlim 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5187  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323

This theorem is referenced by:  limom  7829  oesuc  8459  limensuc  9089  limsucncmp  36681  dflim5  43781