MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limon 7234
Description: The class of ordinal numbers is a limit ordinal. (Contributed by NM, 24-Mar-1995.)
Assertion
Ref Expression
limon Lim On

Proof of Theorem limon
StepHypRef Expression
1 ordon 7180 . 2 Ord On
2 onn0 5972 . 2 On ≠ ∅
3 unon 7229 . . 3 On = On
43eqcomi 2774 . 2 On = On
5 df-lim 5913 . 2 (Lim On ↔ (Ord On ∧ On ≠ ∅ ∧ On = On))
61, 2, 4, 5mpbir3an 1441 1 Lim On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wne 2937  c0 4079   cuni 4594  Ord word 5907  Oncon0 5908  Lim wlim 5909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-tr 4912  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914
This theorem is referenced by:  limom  7278  oesuc  7812  limensuc  8344  limsucncmp  32884
  Copyright terms: Public domain W3C validator