Theorem oesuc 8498

Description: Ordinal exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oesuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐵) = ((𝐴 ↑o 𝐵) ·o 𝐴))

Proof of Theorem oesuc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limon 7818	. 2 ⊢ Lim On
2		rdgsuc 8397	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴))‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘𝐵)))
3	1, 2	oesuclem 8496	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐵) = ((𝐴 ↑o 𝐵) ·o 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ↦ cmpt 5183  Oncon0 6348  suc csuc 6350  (class class class)co 7398  1_oc1o 8432   ·_o comu 8437   ↑_o coe 8438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-omul 8444  df-oexp 8445

This theorem is referenced by:  oecl  8508  oe1m  8516  oen0  8558  oeordi  8559  oewordri  8564  oeordsuc  8566  oeoalem  8568  oeoelem  8570  oeeui  8574  oaabs2  8621  omabs  8623  cantnflt  9629  cnfcom  9657  infxpenc2  9980  onexoegt  43826  oe0suclim  43859  oaomoencom  43899  cantnftermord  43902  oe2  43987