Theorem oesuc 8541

Description: Ordinal exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oesuc	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐵) = ((𝐴 ↑o 𝐵) ·o 𝐴))

Proof of Theorem oesuc

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limon 7833	. 2 ⊢ Lim On
2		rdgsuc 8438	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘suc 𝐵) = ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴))‘(rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘𝐵)))
3	1, 2	oesuclem 8539	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ↑o suc 𝐵) = ((𝐴 ↑o 𝐵) ·o 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   ↦ cmpt 5225  Oncon0 6363  suc csuc 6365  (class class class)co 7414  1_oc1o 8473   ·_o comu 8478   ↑_o coe 8479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-omul 8485  df-oexp 8486

This theorem is referenced by:  oecl  8551  oe1m  8559  oen0  8600  oeordi  8601  oewordri  8606  oeordsuc  8608  oeoalem  8610  oeoelem  8612  oeeui  8616  oaabs2  8663  omabs  8665  cantnflt  9689  cnfcom  9717  infxpenc2  10039  onexoegt  42666  oe0suclim  42700  oaomoencom  42740  cantnftermord  42743  oe2  42830