Theorem limsucncmp 34562

Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
limsucncmp	⊢ (Lim 𝐴 → ¬ suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem limsucncmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6316	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → suc 𝐴 = suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
2	1	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp))
3	2	notbid 317	. 2 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (¬ suc 𝐴 ∈ Comp ↔ ¬ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp))
4		limeq 6263	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim 𝐴 ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
5		limeq 6263	. . . 4 ⊢ (On = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim On ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
6		limon 7658	. . . 4 ⊢ Lim On
7	4, 5, 6	elimhyp 4521	. . 3 ⊢ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)
8	7	limsucncmpi 34561	. 2 ⊢ ¬ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp
9	3, 8	dedth 4514	1 ⊢ (Lim 𝐴 → ¬ suc 𝐴 ∈ Comp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  Oncon0 6251  Lim wlim 6252  suc csuc 6253  Compccmp 22445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-en 8692  df-fin 8695  df-cmp 22446

This theorem is referenced by:  ordcmp  34563