Theorem limsucncmp 34635

Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
limsucncmp	⊢ (Lim 𝐴 → ¬ suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem limsucncmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6331	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → suc 𝐴 = suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
2	1	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (¬ suc 𝐴 ∈ Comp ↔ ¬ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp))
4		limeq 6278	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim 𝐴 ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
5		limeq 6278	. . . 4 ⊢ (On = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim On ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
6		limon 7683	. . . 4 ⊢ Lim On
7	4, 5, 6	elimhyp 4524	. . 3 ⊢ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)
8	7	limsucncmpi 34634	. 2 ⊢ ¬ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp
9	3, 8	dedth 4517	1 ⊢ (Lim 𝐴 → ¬ suc 𝐴 ∈ Comp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459  Oncon0 6266  Lim wlim 6267  suc csuc 6268  Compccmp 22537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-en 8734  df-fin 8737  df-cmp 22538

This theorem is referenced by:  ordcmp  34636