Theorem limsucncmp 36447

Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
limsucncmp	⊢ (Lim 𝐴 → ¬ suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem limsucncmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceq 6450	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → suc 𝐴 = suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
2	1	eleq1d 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (¬ suc 𝐴 ∈ Comp ↔ ¬ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp))
4		limeq 6396	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim 𝐴 ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
5		limeq 6396	. . . 4 ⊢ (On = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim On ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
6		limon 7856	. . . 4 ⊢ Lim On
7	4, 5, 6	elimhyp 4591	. . 3 ⊢ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)
8	7	limsucncmpi 36446	. 2 ⊢ ¬ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp
9	3, 8	dedth 4584	1 ⊢ (Lim 𝐴 → ¬ suc 𝐴 ∈ Comp)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525  Oncon0 6384  Lim wlim 6385  suc csuc 6386  Compccmp 23394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989  df-cmp 23395

This theorem is referenced by:  ordcmp  36448