Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsucncmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsucncmp 32905
Description: The successor of a limit ordinal is not compact. (Contributed by Chen-Pang He, 20-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
limsucncmp (Lim 𝐴 → ¬ suc 𝐴 ∈ Comp)

Proof of Theorem limsucncmp
StepHypRef Expression
1 suceq 5975 . . . 4 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → suc 𝐴 = suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
21eleq1d 2829 . . 3 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (suc 𝐴 ∈ Comp ↔ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp))
32notbid 309 . 2 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (¬ suc 𝐴 ∈ Comp ↔ ¬ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp))
4 limeq 5922 . . . 4 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim 𝐴 ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
5 limeq 5922 . . . 4 (On = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim On ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
6 limon 7238 . . . 4 Lim On
74, 5, 6elimhyp 4308 . . 3 Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)
87limsucncmpi 32904 . 2 ¬ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ Comp
93, 8dedth 4301 1 (Lim 𝐴 → ¬ suc 𝐴 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  ifcif 4245  Oncon0 5910  Lim wlim 5911  suc csuc 5912  Compccmp 21483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-om 7268  df-1o 7768  df-er 7951  df-en 8165  df-fin 8168  df-cmp 21484
This theorem is referenced by:  ordcmp  32906
  Copyright terms: Public domain W3C validator