MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limensuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limensuc 9101
Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
limensuc ((𝐴𝑉 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuc
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . . . 4 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (𝐴𝑉 ↔ if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉))
2 id 22 . . . . 5 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → 𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
3 suceq 6384 . . . . 5 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → suc 𝐴 = suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
42, 3breq12d 5119 . . . 4 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (𝐴 ≈ suc 𝐴 ↔ if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
51, 4imbi12d 345 . . 3 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → ((𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴) ↔ (if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉 → if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))))
6 limeq 6330 . . . . 5 (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim 𝐴 ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
7 limeq 6330 . . . . 5 (On = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim On ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
8 limon 7772 . . . . 5 Lim On
96, 7, 8elimhyp 4552 . . . 4 Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)
109limensuci 9100 . . 3 (if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉 → if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
115, 10dedth 4545 . 2 (Lim 𝐴 → (𝐴𝑉𝐴 ≈ suc 𝐴))
1211impcom 409 1 ((𝐴𝑉 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106  Oncon0 6318  Lim wlim 6319  suc csuc 6320  cen 8883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888
This theorem is referenced by:  infensuc  9102
  Copyright terms: Public domain W3C validator