Theorem limensuc 9153

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
limensuc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2815	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → 𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
3		suceq 6423	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → suc 𝐴 = suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
4	2, 3	breq12d 5154	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (𝐴 ≈ suc 𝐴 ↔ if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
5	1, 4	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → ((𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴) ↔ (if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉 → if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))))
6		limeq 6369	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim 𝐴 ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
7		limeq 6369	. . . . 5 ⊢ (On = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim On ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
8		limon 7820	. . . . 5 ⊢ Lim On
9	6, 7, 8	elimhyp 4588	. . . 4 ⊢ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)
10	9	limensuci 9152	. . 3 ⊢ (if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉 → if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
11	5, 10	dedth 4581	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴))
12	11	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141  Oncon0 6357  Lim wlim 6358  suc csuc 6359   ≈ cen 8935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940

This theorem is referenced by:  infensuc  9154