Theorem limensuc 9149

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
limensuc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem limensuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2853	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (𝐴 ∈ 𝑉 ↔ if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉))
2		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → 𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
3		suceq 6433	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → suc 𝐴 = suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
4	2, 3	breq12d 5124	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (𝐴 ≈ suc 𝐴 ↔ if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
5	1, 4	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → ((𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴) ↔ (if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉 → if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))))
6		limeq 6376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim 𝐴 ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
7		limeq 6376	. . . . 5 ⊢ (On = if(Lim 𝐴, 𝐴, On) → (Lim On ↔ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)))
8		limon 7838	. . . . 5 ⊢ Lim On
9	6, 7, 8	elimhyp 4555	. . . 4 ⊢ Lim if(Lim 𝐴, 𝐴, On)
10	9	limensuci 9148	. . 3 ⊢ (if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ∈ 𝑉 → if(Lim 𝐴, 𝐴, On) ≈ suc if(Lim 𝐴, 𝐴, On))
11	5, 10	dedth 4548	. 2 ⊢ (Lim 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ suc 𝐴))
12	11	impcom 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐴) → 𝐴 ≈ suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489   class class class wbr 5111  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  suc csuc 6366   ≈ cen 8946

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951

This theorem is used by:  infensuc  9150