Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dflim5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dflim5 42761
Description: A limit ordinal is either the proper class of ordinals or some nonzero product with omega. (Contributed by RP, 8-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
dflim5 (Lim ๐ด โ†” (๐ด = On โˆจ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o)๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem dflim5
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limord 6432 . . . . 5 (Lim ๐ด โ†’ Ord ๐ด)
2 ordeleqon 7788 . . . . . . 7 (Ord ๐ด โ†” (๐ด โˆˆ On โˆจ ๐ด = On))
32biimpi 215 . . . . . 6 (Ord ๐ด โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆจ ๐ด = On))
43orcomd 869 . . . . 5 (Ord ๐ด โ†’ (๐ด = On โˆจ ๐ด โˆˆ On))
51, 4syl 17 . . . 4 (Lim ๐ด โ†’ (๐ด = On โˆจ ๐ด โˆˆ On))
65pm4.71ri 559 . . 3 (Lim ๐ด โ†” ((๐ด = On โˆจ ๐ด โˆˆ On) โˆง Lim ๐ด))
7 andir 1006 . . 3 (((๐ด = On โˆจ ๐ด โˆˆ On) โˆง Lim ๐ด) โ†” ((๐ด = On โˆง Lim ๐ด) โˆจ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด)))
86, 7bitri 274 . 2 (Lim ๐ด โ†” ((๐ด = On โˆง Lim ๐ด) โˆจ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด)))
9 limon 7843 . . . . 5 Lim On
10 limeq 6384 . . . . 5 (๐ด = On โ†’ (Lim ๐ด โ†” Lim On))
119, 10mpbiri 257 . . . 4 (๐ด = On โ†’ Lim ๐ด)
1211pm4.71i 558 . . 3 (๐ด = On โ†” (๐ด = On โˆง Lim ๐ด))
1312orbi1i 911 . 2 ((๐ด = On โˆจ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด)) โ†” ((๐ด = On โˆง Lim ๐ด) โˆจ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด)))
14 simpl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
15 omelon 9675 . . . . . . . 8 ฯ‰ โˆˆ On
1615a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ ฯ‰ โˆˆ On)
17 id 22 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ ๐ด โˆˆ On)
18 peano1 7898 . . . . . . . . 9 โˆ… โˆˆ ฯ‰
1918ne0ii 4339 . . . . . . . 8 ฯ‰ โ‰  โˆ…
2019a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ ฯ‰ โ‰  โˆ…)
2116, 17, 203jca 1125 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ฯ‰ โ‰  โˆ…))
22 omeulem1 8607 . . . . . 6 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง ฯ‰ โ‰  โˆ…) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด)
2314, 21, 223syl 18 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด)
24 limeq 6384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ (Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) โ†” Lim ๐ด))
2524biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ (Lim ๐ด โ†’ Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ)))
26 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)
27 nnlim 7888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ยฌ Lim ๐‘ฆ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ยฌ Lim ๐‘ฆ)
29 on0eln0 6428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ฅ โ‰  โˆ…))
3029biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ (๐‘ฅ โ‰  โˆ… โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
3130necon1bd 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…))
3231adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…))
3332imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…)
3433, 26jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ = โˆ… โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰))
35 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ฅ = โˆ… โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ฅ = โˆ…)
3635oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ฅ = โˆ… โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) = (ฯ‰ ยทo โˆ…))
37 om0 8542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (ฯ‰ โˆˆ On โ†’ (ฯ‰ ยทo โˆ…) = โˆ…)
3815, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ฅ = โˆ… โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo โˆ…) = โˆ…)
3936, 38eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฅ = โˆ… โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) = โˆ…)
4039oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฅ = โˆ… โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = (โˆ… +o ๐‘ฆ))
41 nna0r 8634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (โˆ… +o ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
4241adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฅ = โˆ… โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (โˆ… +o ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
4340, 42eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฅ = โˆ… โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
44 limeq 6384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ โ†’ (Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) โ†” Lim ๐‘ฆ))
4534, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ (Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) โ†” Lim ๐‘ฆ))
4628, 45mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ ยฌ Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ))
4746ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โ†’ ยฌ Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ)))
48 ovex 7457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ V
49 nlimsucg 7850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ) โˆˆ V โ†’ ยฌ Lim suc ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ))
5048, 49mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ยฌ Lim suc ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ))
51 nnord 7882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ Ord ๐‘ฆ)
52 orduniorsuc 7837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Ord ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ = suc โˆช ๐‘ฆ))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ = suc โˆช ๐‘ฆ))
54 3ianor 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ยฌ (Ord ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ) โ†” (ยฌ Ord ๐‘ฆ โˆจ ยฌ ๐‘ฆ โ‰  โˆ… โˆจ ยฌ ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ))
55 df-lim 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (Lim ๐‘ฆ โ†” (Ord ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰  โˆ… โˆง ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ))
5654, 55xchnxbir 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ยฌ Lim ๐‘ฆ โ†” (ยฌ Ord ๐‘ฆ โˆจ ยฌ ๐‘ฆ โ‰  โˆ… โˆจ ยฌ ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ))
5727, 56sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (ยฌ Ord ๐‘ฆ โˆจ ยฌ ๐‘ฆ โ‰  โˆ… โˆจ ยฌ ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ))
5851pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (ยฌ Ord ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ = โˆ…)))
59 nne 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ยฌ ๐‘ฆ โ‰  โˆ… โ†” ๐‘ฆ = โˆ…)
6059biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ยฌ ๐‘ฆ โ‰  โˆ… โ†’ ๐‘ฆ = โˆ…)
6160a1i13 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (ยฌ ๐‘ฆ โ‰  โˆ… โ†’ (๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ = โˆ…)))
62 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ยฌ ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ = โˆ…))
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (ยฌ ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ = โˆ…)))
6458, 61, 633jaod 1425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((ยฌ Ord ๐‘ฆ โˆจ ยฌ ๐‘ฆ โ‰  โˆ… โˆจ ยฌ ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ = โˆ…)))
6557, 64mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ = โˆ…))
6665orim1d 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฆ โˆจ ๐‘ฆ = suc โˆช ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ = โˆ… โˆจ ๐‘ฆ = suc โˆช ๐‘ฆ)))
6753, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐‘ฆ = โˆ… โˆจ ๐‘ฆ = suc โˆช ๐‘ฆ))
6867ord 862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (ยฌ ๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ๐‘ฆ = suc โˆช ๐‘ฆ))
6968adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ยฌ ๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ๐‘ฆ = suc โˆช ๐‘ฆ))
7069imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ๐‘ฆ = suc โˆช ๐‘ฆ)
7170oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o suc โˆช ๐‘ฆ))
72 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
7372adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
74 omcl 8561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((ฯ‰ โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On)
7515, 73, 74sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On)
76 nnon 7880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ On)
77 onuni 7795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ฆ โˆˆ On โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ On)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ On)
7978adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ On)
8079adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ โˆช ๐‘ฆ โˆˆ On)
81 oasuc 8549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โˆง โˆช ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o suc โˆช ๐‘ฆ) = suc ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ))
8275, 80, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o suc โˆช ๐‘ฆ) = suc ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ))
8371, 82eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = suc ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ))
84 limeq 6384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = suc ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ) โ†’ (Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) โ†” Lim suc ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ)))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ (Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) โ†” Lim suc ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆช ๐‘ฆ)))
8650, 85mtbird 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ยฌ Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ))
8786ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ยฌ ๐‘ฆ = โˆ… โ†’ ยฌ Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ)))
8847, 87jaod 857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆจ ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ยฌ Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ)))
8988con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆจ ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…)))
90 anor 980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…) โ†” ยฌ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆจ ยฌ ๐‘ฆ = โˆ…))
9189, 90imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (Lim ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…)))
9225, 91syl9 77 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (Lim ๐ด โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…))))
9392com13 88 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim ๐ด โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…))))
9493adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…))))
95943imp 1108 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…))
96 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰))
9796, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
98 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ)
9997, 98anim12i 611 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
100 ondif1 8526 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ))
10199, 100sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o))
102 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ๐‘ฆ = โˆ…)
103102oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆ…))
104103adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…)) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆ…))
105 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…)) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด)
10615, 72, 74sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On)
107 oa0 8541 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆ…) = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
10896, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆ…) = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
109108adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…)) โ†’ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o โˆ…) = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
110104, 105, 1093eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…)) โ†’ ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
111101, 110jca 510 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โˆง (โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฆ = โˆ…)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
11295, 111mpdan 685 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โˆง ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
1131123exp 1116 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))))
114113expdimp 451 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))))
115114rexlimdv 3149 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))))
116115expimpd 452 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))))
117116reximdv2 3160 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ On โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) +o ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o)๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
11823, 117mpd 15 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o)๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
119 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
120 eldifi 4125 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
12115, 120, 74sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On)
122121adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On)
123119, 122eqeltrd 2828 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด โˆˆ On)
124 limom 7890 . . . . . . . . . . 11 Lim ฯ‰
12515, 124pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (ฯ‰ โˆˆ On โˆง Lim ฯ‰)
126 omlimcl2 42673 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง (ฯ‰ โˆˆ On โˆง Lim ฯ‰)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
127125, 126mpanl2 699 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ ๐‘ฅ) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
128100, 127sylbi 216 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
129128adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
130 limeq 6384 . . . . . . . 8 (๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โ†’ (Lim ๐ด โ†” Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
131130adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ (Lim ๐ด โ†” Lim (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
132129, 131mpbird 256 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ Lim ๐ด)
133123, 132jca 510 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o) โˆง ๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด))
134133rexlimiva 3143 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o)๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด))
135118, 134impbii 208 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o)๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ))
136135orbi2i 910 . 2 ((๐ด = On โˆจ (๐ด โˆˆ On โˆง Lim ๐ด)) โ†” (๐ด = On โˆจ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o)๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
1378, 13, 1363bitr2i 298 1 (Lim ๐ด โ†” (๐ด = On โˆจ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (On โˆ– 1o)๐ด = (ฯ‰ ยทo ๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆจ w3o 1083   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2936  โˆƒwrex 3066  Vcvv 3471   โˆ– cdif 3944  โˆ…c0 4324  โˆช cuni 4910  Ord word 6371  Oncon0 6372  Lim wlim 6373  suc csuc 6374  (class class class)co 7424  ฯ‰com 7874  1oc1o 8484   +o coa 8488   ยทo comu 8489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-oadd 8495  df-omul 8496
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator