Theorem llnbase 37450

Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnbase.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem llnbase

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4264	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑁 = ∅)
2		llnbase.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2743	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ ↔ (LLines‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 327	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ (LLines‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6748	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LLines‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝐾 ∈ V)
7		llnbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islln 37447	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 684	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840   ⋖ ccvr 37203  Atomscatm 37204  LLinesclln 37432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-llines 37439

This theorem is referenced by:  islln2  37452  llnnleat  37454  llnneat  37455  atcvrlln2  37460  llnexatN  37462  llncmp  37463  2llnmat  37465  islpln3  37474  llnmlplnN  37480  lplnle  37481  lplnnle2at  37482  llncvrlpln2  37498  llncvrlpln  37499  2llnmj  37501  lplncmp  37503  lplnexatN  37504  lplnexllnN  37505  2llnm2N  37509  2llnm3N  37510  2llnm4  37511  2llnmeqat  37512  dalem21  37635  dalem54  37667  dalem55  37668  dalem57  37670  dalem60  37673  llnexchb2lem  37809  llnexchb2  37810  llnexch2N  37811