Theorem llnbase 40094

Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnbase.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem llnbase

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4290	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑁 = ∅)
2		llnbase.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2766	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ ↔ (LLines‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 330	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ (LLines‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6854	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LLines‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝐾 ∈ V)
7		llnbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islln 40091	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 502	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 698	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  Vcvv 3453  ∅c0 4283   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  Basecbs 17236   ⋖ ccvr 39847  Atomscatm 39848  LLinesclln 40076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fv 6524  df-llines 40083

This theorem is referenced by:  islln2  40096  llnnleat  40098  llnneat  40099  atcvrlln2  40104  llnexatN  40106  llncmp  40107  2llnmat  40109  islpln3  40118  llnmlplnN  40124  lplnle  40125  lplnnle2at  40126  llncvrlpln2  40142  llncvrlpln  40143  2llnmj  40145  lplncmp  40147  lplnexatN  40148  lplnexllnN  40149  2llnm2N  40153  2llnm3N  40154  2llnm4  40155  2llnmeqat  40156  dalem21  40279  dalem54  40311  dalem55  40312  dalem57  40314  dalem60  40317  llnexchb2lem  40453  llnexchb2  40454  llnexch2N  40455