Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnbase 35465
Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnbase.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnbase (𝑋𝑁𝑋𝐵)

Proof of Theorem llnbase
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4084 . . . 4 (𝑋𝑁 → ¬ 𝑁 = ∅)
2 llnbase.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
32eqeq1i 2770 . . . 4 (𝑁 = ∅ ↔ (LLines‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 319 . . 3 (𝑋𝑁 → ¬ (LLines‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6368 . . 3 𝐾 ∈ V → (LLines‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 144 . 2 (𝑋𝑁𝐾 ∈ V)
7 llnbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2765 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2765 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9, 2islln 35462 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 492 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 679 1 (𝑋𝑁𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  Vcvv 3350  c0 4079   class class class wbr 4809  cfv 6068  Basecbs 16130  ccvr 35218  Atomscatm 35219  LLinesclln 35447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fv 6076  df-llines 35454
This theorem is referenced by:  islln2  35467  llnnleat  35469  llnneat  35470  atcvrlln2  35475  llnexatN  35477  llncmp  35478  2llnmat  35480  islpln3  35489  llnmlplnN  35495  lplnle  35496  lplnnle2at  35497  llncvrlpln2  35513  llncvrlpln  35514  2llnmj  35516  lplncmp  35518  lplnexatN  35519  lplnexllnN  35520  2llnm2N  35524  2llnm3N  35525  2llnm4  35526  2llnmeqat  35527  dalem21  35650  dalem54  35682  dalem55  35683  dalem57  35685  dalem60  35688  llnexchb2lem  35824  llnexchb2  35825  llnexch2N  35826
  Copyright terms: Public domain W3C validator