Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnbase 39492
Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnbase.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnbase (𝑋𝑁𝑋𝐵)

Proof of Theorem llnbase
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4346 . . . 4 (𝑋𝑁 → ¬ 𝑁 = ∅)
2 llnbase.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
32eqeq1i 2740 . . . 4 (𝑁 = ∅ ↔ (LLines‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 328 . . 3 (𝑋𝑁 → ¬ (LLines‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6899 . . 3 𝐾 ∈ V → (LLines‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 141 . 2 (𝑋𝑁𝐾 ∈ V)
7 llnbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2735 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2735 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9, 2islln 39489 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 498 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 688 1 (𝑋𝑁𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  ccvr 39244  Atomscatm 39245  LLinesclln 39474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-llines 39481
This theorem is referenced by:  islln2  39494  llnnleat  39496  llnneat  39497  atcvrlln2  39502  llnexatN  39504  llncmp  39505  2llnmat  39507  islpln3  39516  llnmlplnN  39522  lplnle  39523  lplnnle2at  39524  llncvrlpln2  39540  llncvrlpln  39541  2llnmj  39543  lplncmp  39545  lplnexatN  39546  lplnexllnN  39547  2llnm2N  39551  2llnm3N  39552  2llnm4  39553  2llnmeqat  39554  dalem21  39677  dalem54  39709  dalem55  39710  dalem57  39712  dalem60  39715  llnexchb2lem  39851  llnexchb2  39852  llnexch2N  39853
  Copyright terms: Public domain W3C validator