Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnbase 38683
Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
llnbase.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnbase (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem llnbase
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4332 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ Β¬ 𝑁 = βˆ…)
2 llnbase.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
32eqeq1i 2735 . . . 4 (𝑁 = βˆ… ↔ (LLinesβ€˜πΎ) = βˆ…)
41, 3sylnib 327 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ Β¬ (LLinesβ€˜πΎ) = βˆ…)
5 fvprc 6882 . . 3 (Β¬ 𝐾 ∈ V β†’ (LLinesβ€˜πΎ) = βˆ…)
64, 5nsyl2 141 . 2 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝐾 ∈ V)
7 llnbase.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 eqid 2730 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
9 eqid 2730 . . . 4 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
107, 8, 9, 2islln 38680 . . 3 (𝐾 ∈ V β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
1110simprbda 497 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
126, 11mpancom 684 1 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148   β‹– ccvr 38435  Atomscatm 38436  LLinesclln 38665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-llines 38672
This theorem is referenced by:  islln2  38685  llnnleat  38687  llnneat  38688  atcvrlln2  38693  llnexatN  38695  llncmp  38696  2llnmat  38698  islpln3  38707  llnmlplnN  38713  lplnle  38714  lplnnle2at  38715  llncvrlpln2  38731  llncvrlpln  38732  2llnmj  38734  lplncmp  38736  lplnexatN  38737  lplnexllnN  38738  2llnm2N  38742  2llnm3N  38743  2llnm4  38744  2llnmeqat  38745  dalem21  38868  dalem54  38900  dalem55  38901  dalem57  38903  dalem60  38906  llnexchb2lem  39042  llnexchb2  39043  llnexch2N  39044
  Copyright terms: Public domain W3C validator