Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnbase 38001
Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
llnbase.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnbase (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem llnbase
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4298 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ Β¬ 𝑁 = βˆ…)
2 llnbase.n . . . . 5 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
32eqeq1i 2742 . . . 4 (𝑁 = βˆ… ↔ (LLinesβ€˜πΎ) = βˆ…)
41, 3sylnib 328 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ Β¬ (LLinesβ€˜πΎ) = βˆ…)
5 fvprc 6839 . . 3 (Β¬ 𝐾 ∈ V β†’ (LLinesβ€˜πΎ) = βˆ…)
64, 5nsyl2 141 . 2 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝐾 ∈ V)
7 llnbase.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 eqid 2737 . . . 4 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
9 eqid 2737 . . . 4 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
107, 8, 9, 2islln 37998 . . 3 (𝐾 ∈ V β†’ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)))
1110simprbda 500 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
126, 11mpancom 687 1 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090   β‹– ccvr 37753  Atomscatm 37754  LLinesclln 37983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-llines 37990
This theorem is referenced by:  islln2  38003  llnnleat  38005  llnneat  38006  atcvrlln2  38011  llnexatN  38013  llncmp  38014  2llnmat  38016  islpln3  38025  llnmlplnN  38031  lplnle  38032  lplnnle2at  38033  llncvrlpln2  38049  llncvrlpln  38050  2llnmj  38052  lplncmp  38054  lplnexatN  38055  lplnexllnN  38056  2llnm2N  38060  2llnm3N  38061  2llnm4  38062  2llnmeqat  38063  dalem21  38186  dalem54  38218  dalem55  38219  dalem57  38221  dalem60  38224  llnexchb2lem  38360  llnexchb2  38361  llnexch2N  38362
  Copyright terms: Public domain W3C validator