Theorem llnbase 40382

Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnbase.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem llnbase

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4286	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑁 = ∅)
2		llnbase.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2765	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ ↔ (LLines‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 331	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ (LLines‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6870	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LLines‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 142	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝐾 ∈ V)
7		llnbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islln 40379	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 504	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 701	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17301   ⋖ ccvr 40135  Atomscatm 40136  LLinesclln 40364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-llines 40371

This theorem is used by:  islln2  40384  llnnleat  40386  llnneat  40387  atcvrlln2  40392  llnexatN  40394  llncmp  40395  2llnmat  40397  islpln3  40406  llnmlplnN  40412  lplnle  40413  lplnnle2at  40414  llncvrlpln2  40430  llncvrlpln  40431  2llnmj  40433  lplncmp  40435  lplnexatN  40436  lplnexllnN  40437  2llnm2N  40441  2llnm3N  40442  2llnm4  40443  2llnmeqat  40444  dalem21  40567  dalem54  40599  dalem55  40600  dalem57  40602  dalem60  40605  llnexchb2lem  40741  llnexchb2  40742  llnexch2N  40743