Theorem llnbase 39511

Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnbase.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnbase	⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem llnbase

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 4340	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ 𝑁 = ∅)
2		llnbase.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
3	2	eqeq1i 2742	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ ↔ (LLines‘𝐾) = ∅)
4	1, 3	sylnib 328	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → ¬ (LLines‘𝐾) = ∅)
5		fvprc 6898	. . 3 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ V → (LLines‘𝐾) = ∅)
6	4, 5	nsyl2 141	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝐾 ∈ V)
7		llnbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
10	7, 8, 9, 2	islln 39508	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ V → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
11	10	simprbda 498	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	6, 11	mpancom 688	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  Vcvv 3480  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247   ⋖ ccvr 39263  Atomscatm 39264  LLinesclln 39493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-llines 39500

This theorem is referenced by:  islln2  39513  llnnleat  39515  llnneat  39516  atcvrlln2  39521  llnexatN  39523  llncmp  39524  2llnmat  39526  islpln3  39535  llnmlplnN  39541  lplnle  39542  lplnnle2at  39543  llncvrlpln2  39559  llncvrlpln  39560  2llnmj  39562  lplncmp  39564  lplnexatN  39565  lplnexllnN  39566  2llnm2N  39570  2llnm3N  39571  2llnm4  39572  2llnmeqat  39573  dalem21  39696  dalem54  39728  dalem55  39729  dalem57  39731  dalem60  39734  llnexchb2lem  39870  llnexchb2  39871  llnexch2N  39872