Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvrlln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvrlln 37746
Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvrlln.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvrlln.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvrlln.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atcvrlln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvrlln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝐴𝑌𝑁))

Proof of Theorem atcvrlln
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1213 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑌𝐵)
3 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
4 simplr 766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐶𝑌)
5 atcvrlln.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 atcvrlln.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 atcvrlln.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 atcvrlln.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
95, 6, 7, 8llni 37734 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑁)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑌𝑁)
11 simpr 485 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝑌𝑁)
12 simpll1 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
13 simpll3 1213 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝑌𝐵)
14 eqid 2737 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
155, 14, 7, 8islln3 37736 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
1612, 13, 15syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → (𝑌𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
1711, 16mpbid 231 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)))
18 simp1l1 1265 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp1l2 1266 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐵)
20 simp2l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝𝐴)
21 simp2r 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞𝐴)
22 simp3l 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝𝑞)
23 simp1r 1197 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶𝑌)
24 simp3r 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))
2523, 24breqtrd 5111 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
265, 14, 6, 7cvrat2 37655 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
2718, 19, 20, 21, 22, 25, 26syl132anc 1387 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
28273exp 1118 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋𝐴)))
2928rexlimdvv 3201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋𝐴))
3029adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋𝐴))
3117, 30mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝑋𝐴)
3210, 31impbida 798 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝐴𝑌𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  wrex 3071   class class class wbr 5085  cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  joincjn 18096  ccvr 37488  Atomscatm 37489  HLchlt 37576  LLinesclln 37717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-proset 18080  df-poset 18098  df-plt 18115  df-lub 18131  df-glb 18132  df-join 18133  df-meet 18134  df-p0 18210  df-lat 18217  df-clat 18284  df-oposet 37402  df-ol 37404  df-oml 37405  df-covers 37492  df-ats 37493  df-atl 37524  df-cvlat 37548  df-hlat 37577  df-llines 37724
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  37784  2llnmj  37786  2llnm2N  37794
  Copyright terms: Public domain W3C validator