Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvrlln Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atcvrlln 38386
Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvrlln.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atcvrlln.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atcvrlln.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
atcvrlln.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvrlln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
Proof of Theorem atcvrlln
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1212 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1214 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simpr 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
4 simplr 767 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
5 atcvrlln.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 atcvrlln.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
7 atcvrlln.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 atcvrlln.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8llni 38374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1373 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
11 simpr 485 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
12 simpll1 1212 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 simpll3 1214 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14 eqid 2732 . . . . . 6 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
155, 14, 7, 8islln3 38376 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
1612, 13, 15syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
1711, 16mpbid 231 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
18 simp1l1 1266 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simp1l2 1267 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 simp2l 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp2r 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
22 simp3l 1201 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
23 simp1r 1198 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
24 simp3r 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
2523, 24breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋𝐢(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
265, 14, 6, 7cvrat2 38295 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋𝐢(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
2718, 19, 20, 21, 22, 25, 26syl132anc 1388 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
28273exp 1119 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)))
2928rexlimdvv 3210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))
3029adantr 481 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))
3117, 30mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
3210, 31impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  joincjn 18263   β‹– ccvr 38127  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LLinesclln 38357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  38424  2llnmj  38426  2llnm2N  38434
  Copyright terms: Public domain W3C validator