Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvrlln Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atcvrlln 38904
Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvrlln.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atcvrlln.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atcvrlln.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
atcvrlln.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvrlln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
Proof of Theorem atcvrlln
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
4 simplr 766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
5 atcvrlln.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 atcvrlln.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
7 atcvrlln.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 atcvrlln.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8llni 38892 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1370 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
11 simpr 484 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
12 simpll1 1209 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 simpll3 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14 eqid 2726 . . . . . 6 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
155, 14, 7, 8islln3 38894 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
1612, 13, 15syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
1711, 16mpbid 231 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
18 simp1l1 1263 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simp1l2 1264 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 simp2l 1196 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
22 simp3l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
23 simp1r 1195 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
24 simp3r 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
2523, 24breqtrd 5167 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋𝐢(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
265, 14, 6, 7cvrat2 38813 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋𝐢(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
2718, 19, 20, 21, 22, 25, 26syl132anc 1385 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
28273exp 1116 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)))
2928rexlimdvv 3204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))
3029adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))
3117, 30mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
3210, 31impbida 798 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  joincjn 18276   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LLinesclln 38875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  38942  2llnmj  38944  2llnm2N  38952
  Copyright terms: Public domain W3C validator