Theorem atcvrlln 39539

Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvrlln.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvrlln.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvrlln.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atcvrlln.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvrlln	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))

Proof of Theorem atcvrlln

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1213	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpll3 1215	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		simplr 768	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐶𝑌)
5		atcvrlln.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		atcvrlln.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		atcvrlln.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		atcvrlln.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	llni 39527	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑁)
10	1, 2, 3, 4, 9	syl31anc 1375	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑁)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑁)
12		simpll1 1213	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
13		simpll3 1215	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15	5, 14, 7, 8	islln3 39529	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
16	12, 13, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
17	11, 16	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)))
18		simp1l1 1267	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp1l2 1268	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp2l 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21		simp2r 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
22		simp3l 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
23		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶𝑌)
24		simp3r 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))
25	23, 24	breqtrd 5145	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
26	5, 14, 6, 7	cvrat2 39448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
27	18, 19, 20, 21, 22, 25, 26	syl132anc 1390	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
28	27	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
29	28	rexlimdvv 3197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
31	17, 30	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐴)
32	10, 31	impbida 800	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  joincjn 18323   ⋖ ccvr 39280  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LLinesclln 39510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517

This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39577  2llnmj  39579  2llnm2N  39587