Theorem atcvrlln 39244

Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvrlln.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvrlln.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvrlln.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atcvrlln.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvrlln	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))

Proof of Theorem atcvrlln

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1209	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpll3 1211	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr 483	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		simplr 767	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐶𝑌)
5		atcvrlln.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		atcvrlln.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		atcvrlln.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		atcvrlln.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	llni 39232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑁)
10	1, 2, 3, 4, 9	syl31anc 1370	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑁)
11		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑁)
12		simpll1 1209	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
13		simpll3 1211	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15	5, 14, 7, 8	islln3 39234	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
16	12, 13, 15	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
17	11, 16	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)))
18		simp1l1 1263	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp1l2 1264	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp2l 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21		simp2r 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
22		simp3l 1198	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
23		simp1r 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶𝑌)
24		simp3r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))
25	23, 24	breqtrd 5179	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
26	5, 14, 6, 7	cvrat2 39153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
27	18, 19, 20, 21, 22, 25, 26	syl132anc 1385	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
28	27	3exp 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
29	28	rexlimdvv 3204	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
30	29	adantr 479	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
31	17, 30	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐴)
32	10, 31	impbida 799	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933  ∃wrex 3063   class class class wbr 5153  ‘cfv 6555  (class class class)co 7425  Basecbs 17221  joincjn 18344   ⋖ ccvr 38985  Atomscatm 38986  HLchlt 39073  LLinesclln 39215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5434  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3428  df-v 3473  df-sbc 3786  df-csb 3902  df-dif 3959  df-un 3961  df-in 3963  df-ss 3973  df-nul 4333  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5581  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-iota 6507  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-proset 18328  df-poset 18346  df-plt 18363  df-lub 18379  df-glb 18380  df-join 18381  df-meet 18382  df-p0 18458  df-lat 18465  df-clat 18532  df-oposet 38899  df-ol 38901  df-oml 38902  df-covers 38989  df-ats 38990  df-atl 39021  df-cvlat 39045  df-hlat 39074  df-llines 39222

This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39282  2llnmj  39284  2llnm2N  39292