Theorem atcvrlln 39477

Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvrlln.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvrlln.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvrlln.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atcvrlln.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atcvrlln	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))

Proof of Theorem atcvrlln

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1212	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpll3 1214	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
4		simplr 768	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋𝐶𝑌)
5		atcvrlln.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		atcvrlln.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7		atcvrlln.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		atcvrlln.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
9	5, 6, 7, 8	llni 39465	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑁)
10	1, 2, 3, 4, 9	syl31anc 1373	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑁)
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑁)
12		simpll1 1212	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
13		simpll3 1214	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
15	5, 14, 7, 8	islln3 39467	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
16	12, 13, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
17	11, 16	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)))
18		simp1l1 1266	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
19		simp1l2 1267	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20		simp2l 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
21		simp2r 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞 ∈ 𝐴)
22		simp3l 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
23		simp1r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶𝑌)
24		simp3r 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))
25	23, 24	breqtrd 5192	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
26	5, 14, 6, 7	cvrat2 39386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
27	18, 19, 20, 21, 22, 25, 26	syl132anc 1388	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋 ∈ 𝐴)
28	27	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋 ∈ 𝐴)))
29	28	rexlimdvv 3218	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋 ∈ 𝐴))
31	17, 30	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐴)
32	10, 31	impbida 800	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  joincjn 18381   ⋖ ccvr 39218  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LLinesclln 39448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455

This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39515  2llnmj  39517  2llnm2N  39525