Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvrlln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvrlln 36643
Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvrlln.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvrlln.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvrlln.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atcvrlln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvrlln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝐴𝑌𝑁))

Proof of Theorem atcvrlln
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1206 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1208 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑌𝐵)
3 simpr 487 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
4 simplr 767 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐶𝑌)
5 atcvrlln.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 atcvrlln.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 atcvrlln.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 atcvrlln.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
95, 6, 7, 8llni 36631 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑁)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1367 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑌𝑁)
11 simpr 487 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝑌𝑁)
12 simpll1 1206 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
13 simpll3 1208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝑌𝐵)
14 eqid 2819 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
155, 14, 7, 8islln3 36633 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
1612, 13, 15syl2anc 586 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → (𝑌𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
1711, 16mpbid 234 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)))
18 simp1l1 1260 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp1l2 1261 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐵)
20 simp2l 1193 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝𝐴)
21 simp2r 1194 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞𝐴)
22 simp3l 1195 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝𝑞)
23 simp1r 1192 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶𝑌)
24 simp3r 1196 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))
2523, 24breqtrd 5083 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
265, 14, 6, 7cvrat2 36552 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
2718, 19, 20, 21, 22, 25, 26syl132anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
28273exp 1113 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋𝐴)))
2928rexlimdvv 3291 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋𝐴))
3029adantr 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋𝐴))
3117, 30mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝑋𝐴)
3210, 31impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝐴𝑌𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wrex 3137   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  joincjn 17546  ccvr 36385  Atomscatm 36386  HLchlt 36473  LLinesclln 36614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474  df-llines 36621
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  36681  2llnmj  36683  2llnm2N  36691
  Copyright terms: Public domain W3C validator