Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpll1 1213 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
2 | | simpll3 1215 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π΄) β π β π΅) |
3 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π΄) β π β π΄) |
4 | | simplr 768 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π΄) β ππΆπ) |
5 | | atcvrlln.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
6 | | atcvrlln.c |
. . . 4
β’ πΆ = ( β βπΎ) |
7 | | atcvrlln.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | atcvrlln.n |
. . . 4
β’ π = (LLinesβπΎ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | llni 38000 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΄) β§ ππΆπ) β π β π) |
10 | 1, 2, 3, 4, 9 | syl31anc 1374 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π΄) β π β π) |
11 | | simpr 486 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π) β π β π) |
12 | | simpll1 1213 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π) β πΎ β HL) |
13 | | simpll3 1215 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π) β π β π΅) |
14 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
15 | 5, 14, 7, 8 | islln3 38002 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΅) β (π β π β βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π)))) |
16 | 12, 13, 15 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π) β (π β π β βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π)))) |
17 | 11, 16 | mpbid 231 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π) β βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) |
18 | | simp1l1 1267 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) β πΎ β HL) |
19 | | simp1l2 1268 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) β π β π΅) |
20 | | simp2l 1200 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) β π β π΄) |
21 | | simp2r 1201 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) β π β π΄) |
22 | | simp3l 1202 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) β π β π) |
23 | | simp1r 1199 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) β ππΆπ) |
24 | | simp3r 1203 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) β π = (π(joinβπΎ)π)) |
25 | 23, 24 | breqtrd 5136 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) β ππΆ(π(joinβπΎ)π)) |
26 | 5, 14, 6, 7 | cvrat2 37921 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ ππΆ(π(joinβπΎ)π))) β π β π΄) |
27 | 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26 | syl132anc 1389 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π))) β π β π΄) |
28 | 27 | 3exp 1120 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β ((π β π΄ β§ π β π΄) β ((π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π)) β π β π΄))) |
29 | 28 | rexlimdvv 3205 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β (βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π)) β π β π΄)) |
30 | 29 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π) β (βπ β π΄ βπ β π΄ (π β π β§ π = (π(joinβπΎ)π)) β π β π΄)) |
31 | 17, 30 | mpd 15 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β§ π β π) β π β π΄) |
32 | 10, 31 | impbida 800 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ππΆπ) β (π β π΄ β π β π)) |