Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvrlln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvrlln 39503
Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvrlln.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atcvrlln.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atcvrlln.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atcvrlln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atcvrlln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝐴𝑌𝑁))

Proof of Theorem atcvrlln
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1213 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑌𝐵)
3 simpr 484 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
4 simplr 769 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐶𝑌)
5 atcvrlln.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 atcvrlln.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 atcvrlln.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 atcvrlln.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
95, 6, 7, 8llni 39491 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐴) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑁)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑌𝑁)
11 simpr 484 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝑌𝑁)
12 simpll1 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
13 simpll3 1213 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝑌𝐵)
14 eqid 2735 . . . . . 6 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
155, 14, 7, 8islln3 39493 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
1612, 13, 15syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → (𝑌𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))))
1711, 16mpbid 232 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)))
18 simp1l1 1265 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp1l2 1266 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐵)
20 simp2l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝𝐴)
21 simp2r 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑞𝐴)
22 simp3l 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑝𝑞)
23 simp1r 1197 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶𝑌)
24 simp3r 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))
2523, 24breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
265, 14, 6, 7cvrat2 39412 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑋𝐶(𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
2718, 19, 20, 21, 22, 25, 26syl132anc 1387 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞))) → 𝑋𝐴)
28273exp 1118 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋𝐴)))
2928rexlimdvv 3210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋𝐴))
3029adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑌 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → 𝑋𝐴))
3117, 30mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑁) → 𝑋𝐴)
3210, 31impbida 801 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝐴𝑌𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  joincjn 18369  ccvr 39244  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LLinesclln 39474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39541  2llnmj  39543  2llnm2N  39551
  Copyright terms: Public domain W3C validator