Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atcvrlln Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atcvrlln 39033
Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atcvrlln.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atcvrlln.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
atcvrlln.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
atcvrlln.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atcvrlln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
Proof of Theorem atcvrlln
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simpr 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
4 simplr 767 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
5 atcvrlln.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 atcvrlln.c . . . 4 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
7 atcvrlln.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 atcvrlln.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
95, 6, 7, 8llni 39021 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1370 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
11 simpr 483 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
12 simpll1 1209 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
13 simpll3 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
14 eqid 2728 . . . . . 6 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
155, 14, 7, 8islln3 39023 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
1612, 13, 15syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))))
1711, 16mpbid 231 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)))
18 simp1l1 1263 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 simp1l2 1264 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 simp2l 1196 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
21 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
22 simp3l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑝 β‰  π‘ž)
23 simp1r 1195 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
24 simp3r 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
2523, 24breqtrd 5178 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋𝐢(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
265, 14, 6, 7cvrat2 38942 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ 𝑋𝐢(𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
2718, 19, 20, 21, 22, 25, 26syl132anc 1385 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
28273exp 1116 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)))
2928rexlimdvv 3208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))
3029adantr 479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (𝑝 β‰  π‘ž ∧ π‘Œ = (𝑝(joinβ€˜πΎ)π‘ž)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴))
3117, 30mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
3210, 31impbida 799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ π‘Œ ∈ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  joincjn 18312   β‹– ccvr 38774  Atomscatm 38775  HLchlt 38862  LLinesclln 39004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  39071  2llnmj  39073  2llnm2N  39081
  Copyright terms: Public domain W3C validator