Theorem llnle 39537

Description: Any element greater than 0 and not an atom majorizes a lattice line. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnle.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
llnle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnle.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑁   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem llnle

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ≠ 0 )
4		llnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		llnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		llnle.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
7		llnle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	atle 39455	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋)
10		simp1ll 1237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11	4, 7	atbase 39307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	11	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐵)
13		simp1lr 1238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋)
15		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐴)
16		simp1rr 1240	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
17		nelne2 3030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑝 ≠ 𝑋)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ≠ 𝑋)
19		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
20	5, 19	pltval 18342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
21	10, 15, 13, 20	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
22	14, 18, 21	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑋)
23		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
25	4, 5, 19, 23, 24, 7	hlrelat3 39431	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋))
26	10, 12, 13, 22, 25	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋))
27		simp1ll 1237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
28		simp21 1207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
29		simp23 1209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
30	4, 23, 7	hlatjcl 39385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
32		simp3l 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
33		llnle.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
34	4, 24, 7, 33	llni 39527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝑁)
35	27, 31, 28, 32, 34	syl31anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝑁)
36		simp3r 1203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)
37		breq1 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋))
38	37	rspcev 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝑁 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)
39	35, 36, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)
40	39	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)))
41	40	3expd 1354	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)))))
42	41	3imp 1110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)))
43	42	rexlimdv 3139	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋))
44	26, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)
45	44	3exp 1119	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)))
46	45	rexlimdv 3139	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋))
47	9, 46	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  lecple 17278  ltcplt 18320  joincjn 18323  0.cp0 18433   ⋖ ccvr 39280  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LLinesclln 39510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517

This theorem is referenced by:  llnmlplnN  39558  lplnle  39559  llncvrlpln  39577