Theorem llnle 39501

Description: Any element greater than 0 and not an atom majorizes a lattice line. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnle.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
llnle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnle.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑁   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem llnle

Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 771	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ≠ 0 )
4		llnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		llnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		llnle.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
7		llnle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	atle 39419	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋)
9	1, 2, 3, 8	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋)
10		simp1ll 1235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
11	4, 7	atbase 39271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	11	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐵)
13		simp1lr 1236	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋)
15		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ∈ 𝐴)
16		simp1rr 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
17		nelne2 3038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑝 ≠ 𝑋)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝 ≠ 𝑋)
19		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
20	5, 19	pltval 18390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
21	10, 15, 13, 20	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → (𝑝(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ≠ 𝑋)))
22	14, 18, 21	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → 𝑝(lt‘𝐾)𝑋)
23		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
24		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
25	4, 5, 19, 23, 24, 7	hlrelat3 39395	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋))
26	10, 12, 13, 22, 25	syl31anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋))
27		simp1ll 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
28		simp21 1205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
29		simp23 1207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
30	4, 23, 7	hlatjcl 39349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵)
32		simp3l 1200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞))
33		llnle.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
34	4, 24, 7, 33	llni 39491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞)) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝑁)
35	27, 31, 28, 32, 34	syl31anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝑁)
36		simp3r 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)
37		breq1 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑝(join‘𝐾)𝑞) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋))
38	37	rspcev 3622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∈ 𝑁 ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)
39	35, 36, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)
40	39	3exp 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → ((𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)))
41	40	3expd 1352	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)))))
42	41	3imp 1110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → (𝑞 ∈ 𝐴 → ((𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)))
43	42	rexlimdv 3151	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → (∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑞) ∧ (𝑝(join‘𝐾)𝑞) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋))
44	26, 43	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)
45	44	3exp 1118	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)))
46	45	rexlimdv 3151	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋))
47	9, 46	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦 ≤ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  ltcplt 18366  joincjn 18369  0.cp0 18481   ⋖ ccvr 39244  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LLinesclln 39474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481

This theorem is referenced by:  llnmlplnN  39522  lplnle  39523  llncvrlpln  39541