Theorem lplnle 40421

Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnle.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lplnle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnle.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnle.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lplnle

Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lplnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lplnle.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		lplnle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lplnle.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	llnle 40399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋)
7	6	3adantr3 1190	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋)
8		simp1ll 1255	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
9	1, 5	llnbase 40390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 → 𝑧 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		simp1lr 1256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ≤ 𝑋)
13		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑁)
14		simp1r3 1290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)
15		nelne2 3055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑧 ≠ 𝑋)
16	13, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ≠ 𝑋)
17		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
18	2, 17	pltval 18424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
19	8, 13, 11, 18	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
20	12, 16, 19	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧(lt‘𝐾)𝑋)
21		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
23	1, 2, 17, 21, 22, 4	hlrelat3 40293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
24	8, 10, 11, 20, 23	syl31anc 1400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
25		simp1ll 1255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
26	25	hllatd 40245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
27		simp21 1225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
28	27, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
29		simp23 1227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
30	1, 4	atbase 40170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
32	1, 21	latjcl 18533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
33	26, 28, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
34		simp3l 1220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝))
35		lplnle.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
36	1, 22, 5, 35	lplni 40413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
37	25, 33, 27, 34, 36	syl31anc 1400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
38		simp3r 1221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)
39		breq1 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧(join‘𝐾)𝑝) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
40	39	rspcev 3579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
41	37, 38, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
42	41	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
43	42	3expd 1372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧 ≤ 𝑋 → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))))
44	43	3imp 1128	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
45	44	rexlimdv 3163	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋))
46	24, 45	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
47	46	3exp 1137	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
48	47	rexlimdv 3163	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋))
49	7, 48	mpd 16	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  lecple 17355  ltcplt 18402  joincjn 18405  0.cp0 18515  Latclat 18525   ⋖ ccvr 40143  Atomscatm 40144  HLchlt 40231  LLinesclln 40372  LPlanesclpl 40373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-p0 18517  df-lat 18526  df-clat 18593  df-oposet 40057  df-ol 40059  df-oml 40060  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179  df-cvlat 40203  df-hlat 40232  df-llines 40379  df-lplanes 40380

This theorem is used by:  lplncvrlvol  40497