Theorem lplnle 39534

Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnle.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lplnle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnle.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnle.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lplnle

Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lplnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lplnle.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		lplnle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lplnle.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	llnle 39512	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋)
7	6	3adantr3 1172	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋)
8		simp1ll 1237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
9	1, 5	llnbase 39503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 → 𝑧 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		simp1lr 1238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ≤ 𝑋)
13		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑁)
14		simp1r3 1272	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)
15		nelne2 3023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑧 ≠ 𝑋)
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ≠ 𝑋)
17		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
18	2, 17	pltval 18291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
19	8, 13, 11, 18	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
20	12, 16, 19	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧(lt‘𝐾)𝑋)
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
23	1, 2, 17, 21, 22, 4	hlrelat3 39406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
24	8, 10, 11, 20, 23	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
25		simp1ll 1237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
26	25	hllatd 39357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
27		simp21 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
28	27, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
29		simp23 1209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
30	1, 4	atbase 39282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
32	1, 21	latjcl 18398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
33	26, 28, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
34		simp3l 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝))
35		lplnle.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
36	1, 22, 5, 35	lplni 39526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
37	25, 33, 27, 34, 36	syl31anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
38		simp3r 1203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)
39		breq1 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧(join‘𝐾)𝑝) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
40	39	rspcev 3588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
41	37, 38, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
42	41	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
43	42	3expd 1354	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧 ≤ 𝑋 → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))))
44	43	3imp 1110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
45	44	rexlimdv 3132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋))
46	24, 45	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
47	46	3exp 1119	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
48	47	rexlimdv 3132	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋))
49	7, 48	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  ltcplt 18269  joincjn 18272  0.cp0 18382  Latclat 18390   ⋖ ccvr 39255  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  LLinesclln 39485  LPlanesclpl 39486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-llines 39492  df-lplanes 39493

This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  39610