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Theorem lplnle 36118
Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnle.l = (le‘𝐾)
lplnle.z 0 = (0.‘𝐾)
lplnle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnle.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnle.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦,   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lplnle
Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lplnle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lplnle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lplnle.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
4 lplnle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 lplnle.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5llnle 36096 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴)) → ∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋)
763adantr3 1151 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋)
8 simp1ll 1216 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
91, 5llnbase 36087 . . . . . . 7 (𝑧𝑁𝑧𝐵)
1093ad2ant2 1114 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝐵)
11 simp1lr 1217 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑋𝐵)
12 simp3 1118 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧 𝑋)
13 simp2 1117 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝑁)
14 simp1r3 1251 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ¬ 𝑋𝑁)
15 nelne2 3067 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ ¬ 𝑋𝑁) → 𝑧𝑋)
1613, 14, 15syl2anc 576 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝑋)
17 eqid 2779 . . . . . . . . 9 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
182, 17pltval 17428 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑁𝑋𝐵) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 𝑋𝑧𝑋)))
198, 13, 11, 18syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 𝑋𝑧𝑋)))
2012, 16, 19mpbir2and 700 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧(lt‘𝐾)𝑋)
21 eqid 2779 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
22 eqid 2779 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
231, 2, 17, 21, 22, 4hlrelat3 35990 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
248, 10, 11, 20, 23syl31anc 1353 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
25 simp1ll 1216 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 35942 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
27 simp21 1186 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧𝑁)
2827, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧𝐵)
29 simp23 1188 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑝𝐴)
301, 4atbase 35867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑝𝐵)
321, 21latjcl 17519 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑝𝐵) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
3326, 28, 31, 32syl3anc 1351 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
34 simp3l 1181 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝))
35 lplnle.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
361, 22, 5, 35lplni 36110 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵𝑧𝑁) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
3725, 33, 27, 34, 36syl31anc 1353 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
38 simp3r 1182 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)
39 breq1 4932 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧(join‘𝐾)𝑝) → (𝑦 𝑋 ↔ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
4039rspcev 3536 . . . . . . . . . 10 (((𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
4137, 38, 40syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
42413exp 1099 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ((𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
43423expd 1333 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (𝑧𝑁 → (𝑧 𝑋 → (𝑝𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))))
44433imp 1091 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (𝑝𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
4544rexlimdv 3229 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋))
4624, 45mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
47463exp 1099 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (𝑧𝑁 → (𝑧 𝑋 → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
4847rexlimdv 3229 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋 → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋))
497, 48mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  wrex 3090   class class class wbr 4929  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  lecple 16428  ltcplt 17409  joincjn 17412  0.cp0 17505  Latclat 17513  ccvr 35840  Atomscatm 35841  HLchlt 35928  LLinesclln 36069  LPlanesclpl 36070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-lat 17514  df-clat 17576  df-oposet 35754  df-ol 35756  df-oml 35757  df-covers 35844  df-ats 35845  df-atl 35876  df-cvlat 35900  df-hlat 35929  df-llines 36076  df-lplanes 36077
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  36194
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