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Theorem lplnle 38922
Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lplnle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lplnle.z 0 = (0.β€˜πΎ)
lplnle.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lplnle.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
lplnle.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplnle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦, ≀   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)
Proof of Theorem lplnle
Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lplnle.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 lplnle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lplnle.z . . . 4 0 = (0.β€˜πΎ)
4 lplnle.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 lplnle.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5llnle 38900 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧 ≀ 𝑋)
763adantr3 1168 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧 ≀ 𝑋)
8 simp1ll 1233 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
91, 5llnbase 38891 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
1093ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
11 simp1lr 1234 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 simp3 1135 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧 ≀ 𝑋)
13 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑁)
14 simp1r3 1268 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)
15 nelne2 3034 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑧 β‰  𝑋)
1613, 14, 15syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧 β‰  𝑋)
17 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
182, 17pltval 18295 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑧 β‰  𝑋)))
198, 13, 11, 18syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑧 β‰  𝑋)))
2012, 16, 19mpbir2and 710 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧(ltβ€˜πΎ)𝑋)
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
22 eqid 2726 . . . . . . 7 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
231, 2, 17, 21, 22, 4hlrelat3 38794 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
248, 10, 11, 20, 23syl31anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
25 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 38745 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
27 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑁)
2827, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
29 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
301, 4atbase 38670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
321, 21latjcl 18402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝐡)
3326, 28, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝐡)
34 simp3l 1198 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝))
35 lplnle.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
361, 22, 5, 35lplni 38914 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝)) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝑃)
3725, 33, 27, 34, 36syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝑃)
38 simp3r 1199 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)
39 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) β†’ (𝑦 ≀ 𝑋 ↔ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
4039rspcev 3606 . . . . . . . . . 10 (((𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
4137, 38, 40syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
42413exp 1116 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)))
43423expd 1350 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)))))
44433imp 1108 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)))
4544rexlimdv 3147 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋))
4624, 45mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
47463exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)))
4847rexlimdv 3147 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧 ≀ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋))
497, 48mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  lecple 17211  ltcplt 18271  joincjn 18274  0.cp0 18386  Latclat 18394   β‹– ccvr 38643  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LLinesclln 38873  LPlanesclpl 38874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  38998
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