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Theorem lplnle 39017
Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnle.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lplnle.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lplnle.z 0 = (0.β€˜πΎ)
lplnle.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lplnle.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
lplnle.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplnle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦, ≀   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lplnle
Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lplnle.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 lplnle.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lplnle.z . . . 4 0 = (0.β€˜πΎ)
4 lplnle.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 lplnle.n . . . 4 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5llnle 38995 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧 ≀ 𝑋)
763adantr3 1168 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧 ≀ 𝑋)
8 simp1ll 1233 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
91, 5llnbase 38986 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
1093ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
11 simp1lr 1234 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 simp3 1135 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧 ≀ 𝑋)
13 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑁)
14 simp1r3 1268 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)
15 nelne2 3036 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ 𝑧 β‰  𝑋)
1613, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧 β‰  𝑋)
17 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
182, 17pltval 18329 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑧 β‰  𝑋)))
198, 13, 11, 18syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ (𝑧(ltβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑧 β‰  𝑋)))
2012, 16, 19mpbir2and 711 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ 𝑧(ltβ€˜πΎ)𝑋)
21 eqid 2727 . . . . . . 7 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
22 eqid 2727 . . . . . . 7 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
231, 2, 17, 21, 22, 4hlrelat3 38889 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑧(ltβ€˜πΎ)𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
248, 10, 11, 20, 23syl31anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
25 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 38840 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
27 simp21 1203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑁)
2827, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
29 simp23 1205 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
301, 4atbase 38765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
321, 21latjcl 18436 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝐡)
3326, 28, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝐡)
34 simp3l 1198 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ 𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝))
35 lplnle.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
361, 22, 5, 35lplni 39009 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝)) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝑃)
3725, 33, 27, 34, 36syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝑃)
38 simp3r 1199 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)
39 breq1 5153 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) β†’ (𝑦 ≀ 𝑋 ↔ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋))
4039rspcev 3609 . . . . . . . . . 10 (((𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
4137, 38, 40syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
42413exp 1116 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)))
43423expd 1350 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)))))
44433imp 1108 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)))
4544rexlimdv 3149 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑧( β‹– β€˜πΎ)(𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ∧ (𝑧(joinβ€˜πΎ)𝑝) ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋))
4624, 45mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≀ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
47463exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑁 β†’ (𝑧 ≀ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)))
4847rexlimdv 3149 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑁 𝑧 ≀ 𝑋 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋))
497, 48mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 𝑦 ≀ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆƒwrex 3066   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  lecple 17245  ltcplt 18305  joincjn 18308  0.cp0 18420  Latclat 18428   β‹– ccvr 38738  Atomscatm 38739  HLchlt 38826  LLinesclln 38968  LPlanesclpl 38969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18292  df-poset 18310  df-plt 18327  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-p0 18422  df-lat 18429  df-clat 18496  df-oposet 38652  df-ol 38654  df-oml 38655  df-covers 38742  df-ats 38743  df-atl 38774  df-cvlat 38798  df-hlat 38827  df-llines 38975  df-lplanes 38976
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  39093
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