Theorem lplnle 39537

Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnle.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lplnle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnle.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnle.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lplnle

Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lplnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lplnle.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		lplnle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lplnle.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	llnle 39515	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋)
7	6	3adantr3 1172	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋)
8		simp1ll 1237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
9	1, 5	llnbase 39506	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 → 𝑧 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		simp1lr 1238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ≤ 𝑋)
13		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑁)
14		simp1r3 1272	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)
15		nelne2 3040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑧 ≠ 𝑋)
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ≠ 𝑋)
17		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
18	2, 17	pltval 18399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
19	8, 13, 11, 18	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
20	12, 16, 19	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧(lt‘𝐾)𝑋)
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
23	1, 2, 17, 21, 22, 4	hlrelat3 39409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
24	8, 10, 11, 20, 23	syl31anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
25		simp1ll 1237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
26	25	hllatd 39360	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
27		simp21 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
28	27, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
29		simp23 1209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
30	1, 4	atbase 39285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
32	1, 21	latjcl 18506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
33	26, 28, 31, 32	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
34		simp3l 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝))
35		lplnle.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
36	1, 22, 5, 35	lplni 39529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
37	25, 33, 27, 34, 36	syl31anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
38		simp3r 1203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)
39		breq1 5154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧(join‘𝐾)𝑝) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
40	39	rspcev 3625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
41	37, 38, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
42	41	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
43	42	3expd 1354	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧 ≤ 𝑋 → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))))
44	43	3imp 1111	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
45	44	rexlimdv 3153	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋))
46	24, 45	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
47	46	3exp 1120	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
48	47	rexlimdv 3153	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋))
49	7, 48	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5151  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  lecple 17314  ltcplt 18375  joincjn 18378  0.cp0 18490  Latclat 18498   ⋖ ccvr 39258  Atomscatm 39259  HLchlt 39346  LLinesclln 39488  LPlanesclpl 39489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-proset 18361  df-poset 18380  df-plt 18397  df-lub 18413  df-glb 18414  df-join 18415  df-meet 18416  df-p0 18492  df-lat 18499  df-clat 18566  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347  df-llines 39495  df-lplanes 39496

This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  39613