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Theorem lplnle 37808
Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnle.l = (le‘𝐾)
lplnle.z 0 = (0.‘𝐾)
lplnle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnle.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnle.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnle (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦,   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lplnle
Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lplnle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lplnle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lplnle.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
4 lplnle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 lplnle.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5llnle 37786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴)) → ∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋)
763adantr3 1170 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋)
8 simp1ll 1235 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
91, 5llnbase 37777 . . . . . . 7 (𝑧𝑁𝑧𝐵)
1093ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝐵)
11 simp1lr 1236 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑋𝐵)
12 simp3 1137 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧 𝑋)
13 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝑁)
14 simp1r3 1270 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ¬ 𝑋𝑁)
15 nelne2 3039 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ ¬ 𝑋𝑁) → 𝑧𝑋)
1613, 14, 15syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧𝑋)
17 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
182, 17pltval 18147 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑁𝑋𝐵) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 𝑋𝑧𝑋)))
198, 13, 11, 18syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 𝑋𝑧𝑋)))
2012, 16, 19mpbir2and 710 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → 𝑧(lt‘𝐾)𝑋)
21 eqid 2736 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
22 eqid 2736 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
231, 2, 17, 21, 22, 4hlrelat3 37680 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
248, 10, 11, 20, 23syl31anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
25 simp1ll 1235 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 37631 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
27 simp21 1205 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧𝑁)
2827, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧𝐵)
29 simp23 1207 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑝𝐴)
301, 4atbase 37556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑝𝐵)
321, 21latjcl 18254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧𝐵𝑝𝐵) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
3326, 28, 31, 32syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
34 simp3l 1200 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝))
35 lplnle.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
361, 22, 5, 35lplni 37800 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵𝑧𝑁) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
3725, 33, 27, 34, 36syl31anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
38 simp3r 1201 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)
39 breq1 5095 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧(join‘𝐾)𝑝) → (𝑦 𝑋 ↔ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
4039rspcev 3570 . . . . . . . . . 10 (((𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
4137, 38, 40syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ (𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
42413exp 1118 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ((𝑧𝑁𝑧 𝑋𝑝𝐴) → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
43423expd 1352 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (𝑧𝑁 → (𝑧 𝑋 → (𝑝𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))))
44433imp 1110 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (𝑝𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
4544rexlimdv 3146 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → (∃𝑝𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋))
4624, 45mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) ∧ 𝑧𝑁𝑧 𝑋) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
47463exp 1118 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (𝑧𝑁 → (𝑧 𝑋 → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)))
4847rexlimdv 3146 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → (∃𝑧𝑁 𝑧 𝑋 → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋))
497, 48mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋0 ∧ ¬ 𝑋𝐴 ∧ ¬ 𝑋𝑁)) → ∃𝑦𝑃 𝑦 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  lecple 17066  ltcplt 18123  joincjn 18126  0.cp0 18238  Latclat 18246  ccvr 37529  Atomscatm 37530  HLchlt 37617  LLinesclln 37759  LPlanesclpl 37760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37443  df-ol 37445  df-oml 37446  df-covers 37533  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618  df-llines 37766  df-lplanes 37767
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  37884
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