Theorem lplnle 40000

Description: Any element greater than 0 and not an atom and not a lattice line majorizes a lattice plane. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplnle.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
lplnle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplnle.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
lplnle.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplnle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦, ≤   𝑦,𝑃   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lplnle

Dummy variables 𝑧 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lplnle.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lplnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lplnle.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		lplnle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		lplnle.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	llnle 39978	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋)
7	6	3adantr3 1173	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋)
8		simp1ll 1238	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
9	1, 5	llnbase 39969	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 → 𝑧 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝐵)
11		simp1lr 1239	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ≤ 𝑋)
13		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑁)
14		simp1r3 1273	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)
15		nelne2 3031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁) → 𝑧 ≠ 𝑋)
16	13, 14, 15	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧 ≠ 𝑋)
17		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
18	2, 17	pltval 18287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
19	8, 13, 11, 18	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (𝑧(lt‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
20	12, 16, 19	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → 𝑧(lt‘𝐾)𝑋)
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
23	1, 2, 17, 21, 22, 4	hlrelat3 39872	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧(lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
24	8, 10, 11, 20, 23	syl31anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
25		simp1ll 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
26	25	hllatd 39824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Lat)
27		simp21 1208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝑁)
28	27, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
29		simp23 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
30	1, 4	atbase 39749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
32	1, 21	latjcl 18396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
33	26, 28, 31, 32	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵)
34		simp3l 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝))
35		lplnle.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
36	1, 22, 5, 35	lplni 39992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
37	25, 33, 27, 34, 36	syl31anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃)
38		simp3r 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)
39		breq1 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧(join‘𝐾)𝑝) → (𝑦 ≤ 𝑋 ↔ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
40	39	rspcev 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∈ 𝑃 ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
41	37, 38, 40	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
42	41	3exp 1120	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
43	42	3expd 1355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧 ≤ 𝑋 → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))))
44	43	3imp 1111	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
45	44	rexlimdv 3137	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑧( ⋖ ‘𝐾)(𝑧(join‘𝐾)𝑝) ∧ (𝑧(join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋))
46	24, 45	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑧 ≤ 𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)
47	46	3exp 1120	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (𝑧 ∈ 𝑁 → (𝑧 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)))
48	47	rexlimdv 3137	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → (∃𝑧 ∈ 𝑁 𝑧 ≤ 𝑋 → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋))
49	7, 48	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑁)) → ∃𝑦 ∈ 𝑃 𝑦 ≤ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  lecple 17218  ltcplt 18265  joincjn 18268  0.cp0 18378  Latclat 18388   ⋖ ccvr 39722  Atomscatm 39723  HLchlt 39810  LLinesclln 39951  LPlanesclpl 39952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959

This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  40076