Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpln3 38025
Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
islpln3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
islpln3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islpln3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islpln3.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
islpln3.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islpln3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐡   𝐾,𝑝,𝑦   ≀ ,𝑝   𝑁,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑝)   ∨ (𝑦,𝑝)   ≀ (𝑦)

Proof of Theorem islpln3
StepHypRef Expression
1 islpln3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2737 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
3 islpln3.n . . 3 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
4 islpln3.p . . 3 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4islpln4 38023 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
6 simpll 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
71, 3llnbase 38001 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑁 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
87adantl 483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
9 simplr 768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 islpln3.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 islpln3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 islpln3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 37905 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
146, 8, 9, 13syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
15 eqcom 2744 . . . . . . 7 ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))
1615a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝)))
1716anbi2d 630 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
1817rexbidva 3174 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
1914, 18bitrd 279 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
2019rexbidva 3174 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
215, 20bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207   β‹– ccvr 37753  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LLinesclln 37983  LPlanesclpl 37984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991
This theorem is referenced by:  islpln5  38027  lplnexllnN  38056
  Copyright terms: Public domain W3C validator