Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpln3 36663
 Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
islpln3.l = (le‘𝐾)
islpln3.j = (join‘𝐾)
islpln3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln3.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
islpln3.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islpln3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑦𝑁𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝,𝑦   ,𝑝   𝑁,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑝)   (𝑦,𝑝)   (𝑦)

Proof of Theorem islpln3
StepHypRef Expression
1 islpln3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2821 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 islpln3.n . . 3 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4 islpln3.p . . 3 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
51, 2, 3, 4islpln4 36661 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑦𝑁 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6 simpll 765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
71, 3llnbase 36639 . . . . . 6 (𝑦𝑁𝑦𝐵)
87adantl 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑦𝐵)
9 simplr 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑁) → 𝑋𝐵)
10 islpln3.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
11 islpln3.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
12 islpln3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 36543 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐵𝑋𝐵) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋)))
146, 8, 9, 13syl3anc 1367 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑁) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋)))
15 eqcom 2828 . . . . . . 7 ((𝑦 𝑝) = 𝑋𝑋 = (𝑦 𝑝))
1615a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑁) ∧ 𝑝𝐴) → ((𝑦 𝑝) = 𝑋𝑋 = (𝑦 𝑝)))
1716anbi2d 630 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑁) ∧ 𝑝𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
1817rexbidva 3296 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑁) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑦 ∧ (𝑦 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
1914, 18bitrd 281 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑦𝑁) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
2019rexbidva 3296 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑦𝑁 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑦𝑁𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
215, 20bitrd 281 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝑃 ↔ ∃𝑦𝑁𝑝𝐴𝑝 𝑦𝑋 = (𝑦 𝑝))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  lecple 16566  joincjn 17548   ⋖ ccvr 36392  Atomscatm 36393  HLchlt 36480  LLinesclln 36621  LPlanesclpl 36622 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629 This theorem is referenced by:  islpln5  36665  lplnexllnN  36694
 Copyright terms: Public domain W3C validator