Theorem islpln3 39979

Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islpln3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islpln3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islpln3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln3.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
islpln3.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝,𝑦   ≤ ,𝑝   𝑁,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑝)   ∨ (𝑦,𝑝)   ≤ (𝑦)

Proof of Theorem islpln3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islpln3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		islpln3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4		islpln3.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islpln4 39977	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
7	1, 3	llnbase 39955	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑁 → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		islpln3.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		islpln3.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		islpln3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	1, 10, 11, 2, 12	cvrval3 39859	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
15		eqcom 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝)))
17	16	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
18	17	rexbidva 3160	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
19	14, 18	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
20	19	rexbidva 3160	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
21	5, 20	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lecple 17227  joincjn 18277   ⋖ ccvr 39708  Atomscatm 39709  HLchlt 39796  LLinesclln 39937  LPlanesclpl 39938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945

This theorem is referenced by:  islpln5  39981  lplnexllnN  40010