Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpln3 39038
Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
islpln3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
islpln3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islpln3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islpln3.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
islpln3.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islpln3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐡   𝐾,𝑝,𝑦   ≀ ,𝑝   𝑁,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑝)   ∨ (𝑦,𝑝)   ≀ (𝑦)

Proof of Theorem islpln3
StepHypRef Expression
1 islpln3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
3 islpln3.n . . 3 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
4 islpln3.p . . 3 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4islpln4 39036 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
6 simpll 765 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
71, 3llnbase 39014 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑁 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
87adantl 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
9 simplr 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 islpln3.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 islpln3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 islpln3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 38918 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
146, 8, 9, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
15 eqcom 2735 . . . . . . 7 ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))
1615a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝)))
1716anbi2d 628 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
1817rexbidva 3174 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
1914, 18bitrd 278 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
2019rexbidva 3174 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
215, 20bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310   β‹– ccvr 38766  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LLinesclln 38996  LPlanesclpl 38997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004
This theorem is referenced by:  islpln5  39040  lplnexllnN  39069
  Copyright terms: Public domain W3C validator