Theorem islpln3 40793

Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islpln3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islpln3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islpln3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln3.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
islpln3.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐵   𝐾,𝑝,𝑦   ≤ ,𝑝   𝑁,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑃(𝑦, 𝑝)   ∨ (𝑦, 𝑝)   ≤ (𝑦)

Proof of Theorem islpln3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islpln3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3		islpln3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
4		islpln3.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	islpln4 40791	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋))
6		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
7	1, 3	llnbase 40769	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑁 → 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑦 ∈ 𝐵)
9		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		islpln3.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		islpln3.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		islpln3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	1, 10, 11, 2, 12	cvrval3 40673	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
14	6, 8, 9, 13	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
15		eqcom 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝)))
17	16	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ((¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
18	17	rexbidva 3188	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
19	14, 18	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) → (𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
20	19	rexbidva 3188	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝑁 𝑦( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
21	5, 20	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑁 ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  lecple 17467  joincjn 18517   ⋖ ccvr 40522  Atomscatm 40523  HLchlt 40610  LLinesclln 40751  LPlanesclpl 40752

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-proset 18500  df-poset 18519  df-plt 18534  df-lub 18550  df-glb 18551  df-join 18552  df-meet 18553  df-p0 18629  df-lat 18638  df-clat 18705  df-oposet 40436  df-ol 40438  df-oml 40439  df-covers 40526  df-ats 40527  df-atl 40558  df-cvlat 40582  df-hlat 40611  df-llines 40758  df-lplanes 40759

This theorem is used by:  islpln5  40795  lplnexllnN  40824