Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpln3 38916
Description: The predicate "is a lattice plane". (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
islpln3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
islpln3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islpln3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islpln3.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
islpln3.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islpln3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑦,𝑝,𝐡   𝐾,𝑝,𝑦   ≀ ,𝑝   𝑁,𝑝,𝑦   𝑋,𝑝,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑃(𝑦,𝑝)   ∨ (𝑦,𝑝)   ≀ (𝑦)

Proof of Theorem islpln3
StepHypRef Expression
1 islpln3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2726 . . 3 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
3 islpln3.n . . 3 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
4 islpln3.p . . 3 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4islpln4 38914 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋))
6 simpll 764 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝐾 ∈ HL)
71, 3llnbase 38892 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑁 β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
87adantl 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
9 simplr 766 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 islpln3.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 islpln3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 islpln3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 38796 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
146, 8, 9, 13syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋)))
15 eqcom 2733 . . . . . . 7 ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))
1615a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋 ↔ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝)))
1716anbi2d 628 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
1817rexbidva 3170 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ (𝑦 ∨ 𝑝) = 𝑋) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
1914, 18bitrd 279 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑁) β†’ (𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
2019rexbidva 3170 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 𝑦( β‹– β€˜πΎ)𝑋 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
215, 20bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑁 βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑦 ∧ 𝑋 = (𝑦 ∨ 𝑝))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273   β‹– ccvr 38644  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LLinesclln 38874  LPlanesclpl 38875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882
This theorem is referenced by:  islpln5  38918  lplnexllnN  38947
  Copyright terms: Public domain W3C validator