Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcl1 41956
Description: Defining property 1 of a polynomially closed function set ๐‘ƒ: it contains all constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl1 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐น}) โˆˆ ๐‘ƒ)

Proof of Theorem mzpcl1
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐น โˆˆ โ„ค)
2 simpl 482 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
3 elfvex 6919 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
43adantr 480 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
5 elmzpcl 41953 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))))
64, 5syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))))
72, 6mpbid 231 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))))
8 simprll 776 . . 3 ((๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ)
97, 8syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ)
10 sneq 4630 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ {๐‘“} = {๐น})
1110xpeq2d 5696 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) = ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐น}))
1211eleq1d 2810 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ (((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โ†” ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐น}) โˆˆ ๐‘ƒ))
1312rspcva 3602 . 2 ((๐น โˆˆ โ„ค โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐น}) โˆˆ ๐‘ƒ)
141, 9, 13syl2anc 583 1 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐น}) โˆˆ ๐‘ƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  Vcvv 3466   โІ wss 3940  {csn 4620   โ†ฆ cmpt 5221   ร— cxp 5664  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   โˆ˜f cof 7661   โ†‘m cmap 8816   + caddc 11109   ยท cmul 11111  โ„คcz 12555  mzPolyCldcmzpcl 41948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7404  df-mzpcl 41950
This theorem is referenced by:  mzpincl  41961  mzpconst  41962
  Copyright terms: Public domain W3C validator