Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcl2 41100
Description: Defining property 2 of a polynomially closed function set ๐‘ƒ: it contains all projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl2 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)) โˆˆ ๐‘ƒ)
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘‰   ๐‘ƒ,๐‘”   ๐‘”,๐น

Proof of Theorem mzpcl2
Dummy variable ๐‘“ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)
2 simpl 484 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
3 elfvex 6884 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
43adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
5 elmzpcl 41096 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (๐‘ƒ โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))))
64, 5syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (๐‘ƒ โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))))
72, 6mpbid 231 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ƒ โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))))
8 simprlr 779 . . 3 ((๐‘ƒ โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ)
97, 8syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ)
10 fveq2 6846 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘“) = (๐‘”โ€˜๐น))
1110mpteq2dv 5211 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)))
1211eleq1d 2819 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ โ†” (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)) โˆˆ ๐‘ƒ))
1312rspcva 3581 . 2 ((๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)) โˆˆ ๐‘ƒ)
141, 9, 13syl2anc 585 1 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)) โˆˆ ๐‘ƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447   โŠ† wss 3914  {csn 4590   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆ˜f cof 7619   โ†‘m cmap 8771   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„คcz 12507  mzPolyCldcmzpcl 41091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364  df-mzpcl 41093
This theorem is referenced by:  mzpincl  41104  mzpproj  41107
  Copyright terms: Public domain W3C validator