Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpcl2 42150
Description: Defining property 2 of a polynomially closed function set ๐‘ƒ: it contains all projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl2 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)) โˆˆ ๐‘ƒ)
Distinct variable groups:   ๐‘”,๐‘‰   ๐‘ƒ,๐‘”   ๐‘”,๐น

Proof of Theorem mzpcl2
Dummy variable ๐‘“ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)
2 simpl 482 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
3 elfvex 6935 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
43adantr 480 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ V)
5 elmzpcl 42146 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))))
64, 5syl 17 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))))
72, 6mpbid 231 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))))
8 simprlr 779 . . 3 ((๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ)
97, 8syl 17 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ)
10 fveq2 6897 . . . . 5 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘“) = (๐‘”โ€˜๐น))
1110mpteq2dv 5250 . . . 4 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)))
1211eleq1d 2814 . . 3 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ โ†” (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)) โˆˆ ๐‘ƒ))
1312rspcva 3607 . 2 ((๐น โˆˆ ๐‘‰ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)) โˆˆ ๐‘ƒ)
141, 9, 13syl2anc 583 1 ((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)) โˆˆ ๐‘ƒ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  Vcvv 3471   โІ wss 3947  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5676  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   โˆ˜f cof 7683   โ†‘m cmap 8845   + caddc 11142   ยท cmul 11144  โ„คcz 12589  mzPolyCldcmzpcl 42141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-ov 7423  df-mzpcl 42143
This theorem is referenced by:  mzpincl  42154  mzpproj  42157
  Copyright terms: Public domain W3C validator