Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmzpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmzpcl 42146
Description: Double substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmzpcl (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘‰,๐‘”   ๐‘–,๐‘‰   ๐‘—,๐‘‰,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘“,๐‘”   ๐‘ƒ,๐‘–   ๐‘ƒ,๐‘—,๐‘ฅ

Proof of Theorem elmzpcl
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpclval 42145 . . 3 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
21eleq2d 2815 . 2 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” ๐‘ƒ โˆˆ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))}))
3 eleq2 2818 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โ†” ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ))
43ralbidv 3174 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ))
5 eleq2 2818 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ))
65ralbidv 3174 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ))
74, 6anbi12d 631 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โ†” (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ)))
8 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))
9 eleq2 2818 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))
108, 9anbi12d 631 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘) โ†” ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))
1110raleqbi1dv 3330 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))
1211raleqbi1dv 3330 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))
137, 12anbi12d 631 . . . 4 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘)) โ†” ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))))
1413elrab 3682 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))} โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))))
15 ovex 7453 . . . . 5 (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ V
1615elpw2 5347 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โ†” ๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
1716anbi1i 623 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))) โ†” (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))))
1814, 17bitri 275 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))} โ†” (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ))))
192, 18bitrdi 287 1 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (๐‘ƒ โІ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  {crab 3429  Vcvv 3471   โІ wss 3947  ๐’ซ cpw 4603  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5676  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   โˆ˜f cof 7683   โ†‘m cmap 8844   + caddc 11141   ยท cmul 11143  โ„คcz 12588  mzPolyCldcmzpcl 42141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-ov 7423  df-mzpcl 42143
This theorem is referenced by:  mzpclall  42147  mzpcl1  42149  mzpcl2  42150  mzpcl34  42151  mzpincl  42154  mzpindd  42166
  Copyright terms: Public domain W3C validator