Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpincl 41774
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 41772 . 2 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) = โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2 mzpclall 41767 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
3 intss1 4966 . . . . 5 ((โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
42, 3syl 17 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
5 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
6 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„ค)
7 mzpcl1 41769 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
85, 6, 7syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
98ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
10 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โˆˆ V
11 vsnex 5428 . . . . . . . . 9 {๐‘“} โˆˆ V
1210, 11xpex 7742 . . . . . . . 8 ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ V
1312elint2 4956 . . . . . . 7 (((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
149, 13sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
1514ralrimiva 3144 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
16 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
17 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰)
18 mzpcl2 41770 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
1916, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2019ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2110mptex 7226 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ V
2221elint2 4956 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2320, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2423ralrimiva 3144 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2515, 24jca 510 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
26 vex 3476 . . . . . . . . 9 ๐‘“ โˆˆ V
2726elint2 4956 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž)
28 vex 3476 . . . . . . . . 9 ๐‘” โˆˆ V
2928elint2 4956 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž)
30 mzpcl34 41771 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
31303expib 1120 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)))
3231ralimia 3078 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
33 r19.26 3109 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž))
34 r19.26 3109 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
3532, 33, 343imtr3i 290 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
3627, 29, 35syl2anb 596 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
37 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ V
3837elint2 4956 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)
39 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ V
4039elint2 4956 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)
4138, 40anbi12i 625 . . . . . . 7 (((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
4236, 41sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
4342a1i 11 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))))
4443ralrimivv 3196 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
454, 25, 44jca32 514 . . 3 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))))
46 elmzpcl 41766 . . 3 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))))))
4745, 46mpbird 256 . 2 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
481, 47eqeltrd 2831 1 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472   โŠ† wss 3947  {csn 4627  โˆฉ cint 4949   โ†ฆ cmpt 5230   ร— cxp 5673  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆ˜f cof 7670   โ†‘m cmap 8822   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562  mzPolyCldcmzpcl 41761  mzPolycmzp 41762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-mzpcl 41763  df-mzp 41764
This theorem is referenced by:  mzpconst  41775  mzpproj  41777  mzpadd  41778  mzpmul  41779
  Copyright terms: Public domain W3C validator