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Theorem mzpincl 39482
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 39480 . 2 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
2 mzpclall 39475 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
3 intss1 4864 . . . . 5 ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
5 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
6 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ ℤ)
7 mzpcl1 39477 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
85, 6, 7syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
98ralrimiva 3170 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
10 ovex 7163 . . . . . . . . 9 (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
11 snex 5305 . . . . . . . . 9 {𝑓} ∈ V
1210, 11xpex 7451 . . . . . . . 8 ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ V
1312elint2 4856 . . . . . . 7 (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
149, 13sylibr 237 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
1514ralrimiva 3170 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
16 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
17 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓𝑉)
18 mzpcl2 39478 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
1916, 17, 18syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2019ralrimiva 3170 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2110mptex 6959 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ V
2221elint2 4856 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2320, 22sylibr 237 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
2423ralrimiva 3170 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
2515, 24jca 515 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
26 vex 3474 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
2726elint2 4856 . . . . . . . 8 (𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎)
28 vex 3474 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
2928elint2 4856 . . . . . . . 8 (𝑔 (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎)
30 mzpcl34 39479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓𝑎𝑔𝑎) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
31303expib 1119 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝑓𝑎𝑔𝑎) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎)))
3231ralimia 3146 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑎𝑔𝑎) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
33 r19.26 3158 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑎𝑔𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎))
34 r19.26 3158 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
3532, 33, 343imtr3i 294 . . . . . . . 8 ((∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
3627, 29, 35syl2anb 600 . . . . . . 7 ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
37 ovex 7163 . . . . . . . . 9 (𝑓f + 𝑔) ∈ V
3837elint2 4856 . . . . . . . 8 ((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎)
39 ovex 7163 . . . . . . . . 9 (𝑓f · 𝑔) ∈ V
4039elint2 4856 . . . . . . . 8 ((𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎)
4138, 40anbi12i 629 . . . . . . 7 (((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
4236, 41sylibr 237 . . . . . 6 ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
4342a1i 11 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))))
4443ralrimivv 3178 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
454, 25, 44jca32 519 . . 3 (𝑉 ∈ V → ( (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))))
46 elmzpcl 39474 . . 3 (𝑉 ∈ V → ( (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ( (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))))))
4745, 46mpbird 260 . 2 (𝑉 ∈ V → (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
481, 47eqeltrd 2912 1 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wral 3126  Vcvv 3471  wss 3910  {csn 4540   cint 4849  cmpt 5119   × cxp 5526  cfv 6328  (class class class)co 7130  f cof 7382  m cmap 8381   + caddc 10517   · cmul 10519  cz 11959  mzPolyCldcmzpcl 39469  mzPolycmzp 39470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-mzpcl 39471  df-mzp 39472
This theorem is referenced by:  mzpconst  39483  mzpproj  39485  mzpadd  39486  mzpmul  39487
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