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Theorem mzpincl 37823
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 37821 . 2 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
2 mzpclall 37816 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
3 intss1 4627 . . . . 5 ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
5 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
6 simplr 752 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ ℤ)
7 mzpcl1 37818 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
85, 6, 7syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
98ralrimiva 3115 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
10 ovex 6826 . . . . . . . . 9 (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
11 snex 5037 . . . . . . . . 9 {𝑓} ∈ V
1210, 11xpex 7112 . . . . . . . 8 ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ V
1312elint2 4619 . . . . . . 7 (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
149, 13sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
1514ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
16 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
17 simplr 752 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓𝑉)
18 mzpcl2 37819 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
1916, 17, 18syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2019ralrimiva 3115 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2110mptex 6632 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ V
2221elint2 4619 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2320, 22sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
2423ralrimiva 3115 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
2515, 24jca 501 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
26 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
2726elint2 4619 . . . . . . . 8 (𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎)
28 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
2928elint2 4619 . . . . . . . 8 (𝑔 (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎)
30 mzpcl34 37820 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓𝑎𝑔𝑎) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
31303expib 1116 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝑓𝑎𝑔𝑎) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎)))
3231ralimia 3099 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑎𝑔𝑎) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
33 r19.26 3212 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑎𝑔𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎))
34 r19.26 3212 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
3532, 33, 343imtr3i 280 . . . . . . . 8 ((∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
3627, 29, 35syl2anb 585 . . . . . . 7 ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
37 ovex 6826 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ V
3837elint2 4619 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎)
39 ovex 6826 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ V
4039elint2 4619 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎)
4138, 40anbi12i 612 . . . . . . 7 (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
4236, 41sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
4342a1i 11 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))))
4443ralrimivv 3119 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
454, 25, 44jca32 505 . . 3 (𝑉 ∈ V → ( (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))))
46 elmzpcl 37815 . . 3 (𝑉 ∈ V → ( (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ( (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))))))
4745, 46mpbird 247 . 2 (𝑉 ∈ V → (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
481, 47eqeltrd 2850 1 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723  {csn 4317   cint 4612  cmpt 4864   × cxp 5248  cfv 6030  (class class class)co 6795  𝑓 cof 7045  𝑚 cmap 8012   + caddc 10144   · cmul 10146  cz 11583  mzPolyCldcmzpcl 37810  mzPolycmzp 37811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-er 7899  df-map 8014  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-n0 11499  df-z 11584  df-mzpcl 37812  df-mzp 37813
This theorem is referenced by:  mzpconst  37824  mzpproj  37826  mzpadd  37827  mzpmul  37828
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