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Theorem mzpincl 41043
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 41041 . 2 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
2 mzpclall 41036 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
3 intss1 4924 . . . . 5 ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
5 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
6 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ ℤ)
7 mzpcl1 41038 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
98ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
10 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
11 vsnex 5386 . . . . . . . . 9 {𝑓} ∈ V
1210, 11xpex 7687 . . . . . . . 8 ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ V
1312elint2 4914 . . . . . . 7 (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
149, 13sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
1514ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
16 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
17 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓𝑉)
18 mzpcl2 41039 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2019ralrimiva 3143 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2110mptex 7173 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ V
2221elint2 4914 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2320, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
2423ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
2515, 24jca 512 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
26 vex 3449 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
2726elint2 4914 . . . . . . . 8 (𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎)
28 vex 3449 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
2928elint2 4914 . . . . . . . 8 (𝑔 (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎)
30 mzpcl34 41040 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓𝑎𝑔𝑎) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
31303expib 1122 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝑓𝑎𝑔𝑎) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎)))
3231ralimia 3083 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑎𝑔𝑎) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
33 r19.26 3114 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑎𝑔𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎))
34 r19.26 3114 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
3532, 33, 343imtr3i 290 . . . . . . . 8 ((∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
3627, 29, 35syl2anb 598 . . . . . . 7 ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
37 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑓f + 𝑔) ∈ V
3837elint2 4914 . . . . . . . 8 ((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎)
39 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝑓f · 𝑔) ∈ V
4039elint2 4914 . . . . . . . 8 ((𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎)
4138, 40anbi12i 627 . . . . . . 7 (((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓f · 𝑔) ∈ 𝑎))
4236, 41sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
4342a1i 11 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))))
4443ralrimivv 3195 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
454, 25, 44jca32 516 . . 3 (𝑉 ∈ V → ( (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))))
46 elmzpcl 41035 . . 3 (𝑉 ∈ V → ( (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ( (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓f + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓f · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))))))
4745, 46mpbird 256 . 2 (𝑉 ∈ V → (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
481, 47eqeltrd 2838 1 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586   cint 4907  cmpt 5188   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765   + caddc 11054   · cmul 11056  cz 12499  mzPolyCldcmzpcl 41030  mzPolycmzp 41031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-mzpcl 41032  df-mzp 41033
This theorem is referenced by:  mzpconst  41044  mzpproj  41046  mzpadd  41047  mzpmul  41048
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