Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpincl 41104
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 41102 . 2 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) = โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2 mzpclall 41097 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
3 intss1 4928 . . . . 5 ((โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
42, 3syl 17 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
5 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
6 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„ค)
7 mzpcl1 41099 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
98ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
10 ovex 7394 . . . . . . . . 9 (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โˆˆ V
11 vsnex 5390 . . . . . . . . 9 {๐‘“} โˆˆ V
1210, 11xpex 7691 . . . . . . . 8 ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ V
1312elint2 4918 . . . . . . 7 (((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
149, 13sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
1514ralrimiva 3140 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
16 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
17 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰)
18 mzpcl2 41100 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2019ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2110mptex 7177 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ V
2221elint2 4918 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2320, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2423ralrimiva 3140 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2515, 24jca 513 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
26 vex 3451 . . . . . . . . 9 ๐‘“ โˆˆ V
2726elint2 4918 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž)
28 vex 3451 . . . . . . . . 9 ๐‘” โˆˆ V
2928elint2 4918 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž)
30 mzpcl34 41101 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
31303expib 1123 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)))
3231ralimia 3080 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
33 r19.26 3111 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž))
34 r19.26 3111 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
3532, 33, 343imtr3i 291 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
3627, 29, 35syl2anb 599 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
37 ovex 7394 . . . . . . . . 9 (๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ V
3837elint2 4918 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)
39 ovex 7394 . . . . . . . . 9 (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ V
4039elint2 4918 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)
4138, 40anbi12i 628 . . . . . . 7 (((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
4236, 41sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
4342a1i 11 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))))
4443ralrimivv 3192 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
454, 25, 44jca32 517 . . 3 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))))
46 elmzpcl 41096 . . 3 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))))))
4745, 46mpbird 257 . 2 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
481, 47eqeltrd 2834 1 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447   โŠ† wss 3914  {csn 4590  โˆฉ cint 4911   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆ˜f cof 7619   โ†‘m cmap 8771   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„คcz 12507  mzPolyCldcmzpcl 41091  mzPolycmzp 41092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-mzpcl 41093  df-mzp 41094
This theorem is referenced by:  mzpconst  41105  mzpproj  41107  mzpadd  41108  mzpmul  41109
  Copyright terms: Public domain W3C validator