Theorem mzpincl 42837

Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpincl	⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpincl

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpval 42835	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
2		mzpclall 42830	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
3		intss1 4911	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
6		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ ℤ)
7		mzpcl1 42832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
9	8	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
10		ovex 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
11		vsnex 5370	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑓} ∈ V
12	10, 11	xpex 7686	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ V
13	12	elint2 4902	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
14	9, 13	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
15	14	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
18		mzpcl2 42833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
20	19	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
21	10	mptex 7157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ V
22	21	elint2 4902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
23	20, 22	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
24	23	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
25	15, 24	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
26		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
27	26	elint2 4902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎)
28		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
29	28	elint2 4902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎)
30		mzpcl34 42834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
31	30	3expib 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎)))
32	31	ralimia 3066	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
33		r19.26 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎))
34		r19.26 3092	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
35	32, 33, 34	3imtr3i 291	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
36	27, 29, 35	syl2anb 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
37		ovex 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ V
38	37	elint2 4902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎)
39		ovex 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ V
40	39	elint2 4902	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎)
41	38, 40	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
42	36, 41	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))
44	43	ralrimivv 3173	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
45	4, 25, 44	jca32 515	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))))
46		elmzpcl 42829	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))))
47	45, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
48	1, 47	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ∩ cint 4895   ↦ cmpt 5170   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608   ↑_m cmap 8750   + caddc 11009   · cmul 11011  ℤcz 12468  mzPolyCldcmzpcl 42824  mzPolycmzp 42825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-mzpcl 42826  df-mzp 42827

This theorem is referenced by:  mzpconst  42838  mzpproj  42840  mzpadd  42841  mzpmul  42842