Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpincl 41472
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 41470 . 2 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) = โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2 mzpclall 41465 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
3 intss1 4968 . . . . 5 ((โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
42, 3syl 17 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
5 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
6 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„ค)
7 mzpcl1 41467 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
85, 6, 7syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
98ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
10 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โˆˆ V
11 vsnex 5430 . . . . . . . . 9 {๐‘“} โˆˆ V
1210, 11xpex 7740 . . . . . . . 8 ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ V
1312elint2 4958 . . . . . . 7 (((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
149, 13sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
1514ralrimiva 3147 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
16 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
17 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰)
18 mzpcl2 41468 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2019ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2110mptex 7225 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ V
2221elint2 4958 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2320, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2423ralrimiva 3147 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2515, 24jca 513 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
26 vex 3479 . . . . . . . . 9 ๐‘“ โˆˆ V
2726elint2 4958 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž)
28 vex 3479 . . . . . . . . 9 ๐‘” โˆˆ V
2928elint2 4958 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž)
30 mzpcl34 41469 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
31303expib 1123 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)))
3231ralimia 3081 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
33 r19.26 3112 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž))
34 r19.26 3112 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
3532, 33, 343imtr3i 291 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
3627, 29, 35syl2anb 599 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
37 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ V
3837elint2 4958 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)
39 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ V
4039elint2 4958 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)
4138, 40anbi12i 628 . . . . . . 7 (((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
4236, 41sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
4342a1i 11 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))))
4443ralrimivv 3199 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
454, 25, 44jca32 517 . . 3 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))))
46 elmzpcl 41464 . . 3 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))))))
4745, 46mpbird 257 . 2 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
481, 47eqeltrd 2834 1 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475   โŠ† wss 3949  {csn 4629  โˆฉ cint 4951   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆ˜f cof 7668   โ†‘m cmap 8820   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„คcz 12558  mzPolyCldcmzpcl 41459  mzPolycmzp 41460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-mzpcl 41461  df-mzp 41462
This theorem is referenced by:  mzpconst  41473  mzpproj  41475  mzpadd  41476  mzpmul  41477
  Copyright terms: Public domain W3C validator