Theorem mzpincl 39675

Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpincl	⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpincl

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpval 39673	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
2		mzpclall 39668	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
3		intss1 4853	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
5		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
6		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ ℤ)
7		mzpcl1 39670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
8	5, 6, 7	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
9	8	ralrimiva 3149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
10		ovex 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
11		snex 5297	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑓} ∈ V
12	10, 11	xpex 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ V
13	12	elint2 4845	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
14	9, 13	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
15	14	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
16		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
18		mzpcl2 39671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
19	16, 17, 18	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
20	19	ralrimiva 3149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
21	10	mptex 6963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ V
22	21	elint2 4845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
23	20, 22	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
24	23	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
25	15, 24	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
26		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
27	26	elint2 4845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎)
28		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
29	28	elint2 4845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎)
30		mzpcl34 39672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
31	30	3expib 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎)))
32	31	ralimia 3126	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
33		r19.26 3137	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎))
34		r19.26 3137	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
35	32, 33, 34	3imtr3i 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
36	27, 29, 35	syl2anb 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
37		ovex 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ V
38	37	elint2 4845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎)
39		ovex 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ V
40	39	elint2 4845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎)
41	38, 40	anbi12i 629	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
42	36, 41	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))
44	43	ralrimivv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
45	4, 25, 44	jca32 519	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))))
46		elmzpcl 39667	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))))
47	45, 46	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
48	1, 47	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ∩ cint 4838   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387   ↑_m cmap 8389   + caddc 10529   · cmul 10531  ℤcz 11969  mzPolyCldcmzpcl 39662  mzPolycmzp 39663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-mzpcl 39664  df-mzp 39665

This theorem is referenced by:  mzpconst  39676  mzpproj  39678  mzpadd  39679  mzpmul  39680