Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mzpincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mzpincl 41462
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 41460 . 2 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) = โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2 mzpclall 41455 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
3 intss1 4967 . . . . 5 ((โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
42, 3syl 17 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)))
5 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
6 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ โ„ค)
7 mzpcl1 41457 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
98ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
10 ovex 7441 . . . . . . . . 9 (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โˆˆ V
11 vsnex 5429 . . . . . . . . 9 {๐‘“} โˆˆ V
1210, 11xpex 7739 . . . . . . . 8 ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ V
1312elint2 4957 . . . . . . 7 (((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ ๐‘Ž)
149, 13sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
1514ralrimiva 3146 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
16 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
17 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰)
18 mzpcl2 41458 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2019ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2110mptex 7224 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ V
2221elint2 4957 . . . . . . 7 ((๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ ๐‘Ž)
2320, 22sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2423ralrimiva 3146 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
2515, 24jca 512 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
26 vex 3478 . . . . . . . . 9 ๐‘“ โˆˆ V
2726elint2 4957 . . . . . . . 8 (๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž)
28 vex 3478 . . . . . . . . 9 ๐‘” โˆˆ V
2928elint2 4957 . . . . . . . 8 (๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž)
30 mzpcl34 41459 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
31303expib 1122 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)))
3231ralimia 3080 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
33 r19.26 3111 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž))
34 r19.26 3111 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
3532, 33, 343imtr3i 290 . . . . . . . 8 ((โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘“ โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)๐‘” โˆˆ ๐‘Ž) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
3627, 29, 35syl2anb 598 . . . . . . 7 ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
37 ovex 7441 . . . . . . . . 9 (๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ V
3837elint2 4957 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)
39 ovex 7441 . . . . . . . . 9 (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ V
4039elint2 4957 . . . . . . . 8 ((๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž)
4138, 40anbi12i 627 . . . . . . 7 (((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†” (โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž โˆง โˆ€๐‘Ž โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)(๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘Ž))
4236, 41sylibr 233 . . . . . 6 ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
4342a1i 11 . . . . 5 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ ((๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โ†’ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))))
4443ralrimivv 3198 . . . 4 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))
454, 25, 44jca32 516 . . 3 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)))))
46 elmzpcl 41454 . . 3 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘“ โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘“}) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘‰ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘“)) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)โˆ€๐‘” โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰)((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))))))
4745, 46mpbird 256 . 2 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
481, 47eqeltrd 2833 1 (๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  {csn 4628  โˆฉ cint 4950   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆ˜f cof 7667   โ†‘m cmap 8819   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„คcz 12557  mzPolyCldcmzpcl 41449  mzPolycmzp 41450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-mzpcl 41451  df-mzp 41452
This theorem is referenced by:  mzpconst  41463  mzpproj  41465  mzpadd  41466  mzpmul  41467
  Copyright terms: Public domain W3C validator