Theorem mzpincl 42750

Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpincl	⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpincl

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpval 42748	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
2		mzpclall 42743	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
3		intss1 4962	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
6		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ ℤ)
7		mzpcl1 42745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
9	8	ralrimiva 3145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
10		ovex 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
11		vsnex 5433	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑓} ∈ V
12	10, 11	xpex 7774	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ V
13	12	elint2 4952	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
14	9, 13	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
15	14	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
17		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
18		mzpcl2 42746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
20	19	ralrimiva 3145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
21	10	mptex 7244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ V
22	21	elint2 4952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
23	20, 22	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
24	23	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
25	15, 24	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
26		vex 3483	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
27	26	elint2 4952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎)
28		vex 3483	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
29	28	elint2 4952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎)
30		mzpcl34 42747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
31	30	3expib 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎)))
32	31	ralimia 3079	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
33		r19.26 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎))
34		r19.26 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
35	32, 33, 34	3imtr3i 291	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
36	27, 29, 35	syl2anb 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
37		ovex 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ V
38	37	elint2 4952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎)
39		ovex 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ V
40	39	elint2 4952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎)
41	38, 40	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
42	36, 41	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))
44	43	ralrimivv 3199	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
45	4, 25, 44	jca32 515	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))))
46		elmzpcl 42742	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))))
47	45, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
48	1, 47	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  {csn 4625  ∩ cint 4945   ↦ cmpt 5224   × cxp 5682  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ∘_f cof 7696   ↑_m cmap 8867   + caddc 11159   · cmul 11161  ℤcz 12615  mzPolyCldcmzpcl 42737  mzPolycmzp 42738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-mzpcl 42739  df-mzp 42740

This theorem is referenced by:  mzpconst  42751  mzpproj  42753  mzpadd  42754  mzpmul  42755