Theorem mzpincl 43391

Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mzpincl	⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpincl

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mzpval 43389	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
2		mzpclall 43384	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
3		intss1 4932	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)))
5		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
6		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ ℤ)
7		mzpcl1 43386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
8	5, 6, 7	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
9	8	ralrimiva 3163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
10		ovex 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ ↑m 𝑉) ∈ V
11		vsnex 5407	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑓} ∈ V
12	10, 11	xpex 7752	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ V
13	12	elint2 4923	. . . . . . 7 ⊢ (((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
14	9, 13	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
15	14	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
16		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
17		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ 𝑉)
18		mzpcl2 43387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
19	16, 17, 18	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
20	19	ralrimiva 3163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
21	10	mptex 7222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ V
22	21	elint2 4923	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ 𝑎)
23	20, 22	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ 𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
24	23	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))
25	15, 24	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
26		vex 3467	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
27	26	elint2 4923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎)
28		vex 3467	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
29	28	elint2 4923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎)
30		mzpcl34 43388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
31	30	3expib 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎)))
32	31	ralimia 3105	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
33		r19.26 3131	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∈ 𝑎 ∧ 𝑔 ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎))
34		r19.26 3131	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
35	32, 33, 34	3imtr3i 294	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓 ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔 ∈ 𝑎) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
36	27, 29, 35	syl2anb 609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
37		ovex 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ V
38	37	elint2 4923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎)
39		ovex 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ V
40	39	elint2 4923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎)
41	38, 40	anbi12i 639	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ 𝑎))
42	36, 41	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
43	42	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))
44	43	ralrimivv 3212	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))
45	4, 25, 44	jca32 524	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)))))
46		elmzpcl 43383	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ (∩ (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑m (ℤ ↑m 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑m 𝑉) × {𝑓}) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑m 𝑉) ↦ (𝑔‘𝑓)) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓 ∘f · 𝑔) ∈ ∩ (mzPolyCld‘𝑉))))))
47	45, 46	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ V → ∩ (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
48	1, 47	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ∩ cint 4916   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7673   ↑_m cmap 8824   + caddc 11103   · cmul 11105  ℤcz 12591  mzPolyCldcmzpcl 43378  mzPolycmzp 43379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-mzpcl 43380  df-mzp 43381

This theorem is referenced by:  mzpconst  43392  mzpproj  43394  mzpadd  43395  mzpmul  43396