Theorem obsipid 21654

Description: A basis element has length one. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obsipid.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
obsipid.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
obsipid.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
obsipid	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

Proof of Theorem obsipid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		obsipid.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		obsipid.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		obsipid.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	1, 2, 3, 4, 5	obsip 21653	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
7	6	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐴
9	8	iftruei 4477	. 2 ⊢ if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)) = 1
10	7, 9	eqtrdi 2782	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4470  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  Scalarcsca 17159  ·_𝑖cip 17161  0_gc0g 17338  1_rcur 20094  OBasiscobs 21634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fv 6484  df-ov 7344  df-obs 21637

This theorem is referenced by:  obsne0  21657