Theorem obsipid 21638

Description: A basis element has length one. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obsipid.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
obsipid.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
obsipid.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
obsipid	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

Proof of Theorem obsipid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		obsipid.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		obsipid.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		obsipid.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	1, 2, 3, 4, 5	obsip 21637	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
7	6	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
8		eqid 2730	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐴
9	8	iftruei 4498	. 2 ⊢ if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)) = 1
10	7, 9	eqtrdi 2781	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230  ·_𝑖cip 17232  0_gc0g 17409  1_rcur 20097  OBasiscobs 21618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-obs 21621

This theorem is referenced by:  obsne0  21641