Theorem obsipid 21702

Description: A basis element has length one. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obsipid.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
obsipid.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
obsipid.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
obsipid	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

Proof of Theorem obsipid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		obsipid.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		obsipid.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		obsipid.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	1, 2, 3, 4, 5	obsip 21701	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
7	6	3anidm23 1424	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐴
9	8	iftruei 4473	. 2 ⊢ if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)) = 1
10	7, 9	eqtrdi 2787	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223  ·_𝑖cip 17225  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  OBasiscobs 21682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506  df-ov 7370  df-obs 21685

This theorem is referenced by:  obsne0  21705