Theorem obsipid 21922

Description: A basis element has length one. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obsipid.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
obsipid.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
obsipid.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
obsipid	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

Proof of Theorem obsipid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		obsipid.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		obsipid.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		obsipid.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	1, 2, 3, 4, 5	obsip 21921	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
7	6	3anidm23 1448	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐴
9	8	iftruei 4496	. 2 ⊢ if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)) = 1
10	7, 9	eqtrdi 2816	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  Scalarcsca 17335  ·_𝑖cip 17337  0_gc0g 17514  1_rcur 20307  OBasiscobs 21902

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7422  df-obs 21905

This theorem is used by:  obsne0  21925