Theorem obsipid 21872

Description: A basis element has length one. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obsipid.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
obsipid.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
obsipid.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
obsipid	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

Proof of Theorem obsipid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		obsipid.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		obsipid.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		obsipid.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	1, 2, 3, 4, 5	obsip 21871	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
7	6	3anidm23 1448	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)))
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐴
9	8	iftruei 4494	. 2 ⊢ if(𝐴 = 𝐴, 1 , (0g‘𝐹)) = 1
10	7, 9	eqtrdi 2814	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 , 𝐴) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4487  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308  ·_𝑖cip 17310  0_gc0g 17487  1_rcur 20258  OBasiscobs 21852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-obs 21855

This theorem is referenced by:  obsne0  21875