Theorem obsrcl 21657

Description: Reverse closure for an orthonormal basis. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
obsrcl	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem obsrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2728	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2728	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
7		eqid 2728	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 21654	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) = {(0g‘𝑊)})))
9	8	simp1bi 1143	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058   ⊆ wss 3947  ifcif 4529  {csn 4629  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236  ·_𝑖cip 17238  0_gc0g 17421  1_rcur 20121  PreHilcphl 21556  ocvcocv 21592  OBasiscobs 21636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-ov 7423  df-obs 21639

This theorem is referenced by:  obsne0  21659  obs2ocv  21661  obselocv  21662  obslbs  21664