Theorem obsrcl 21676

Description: Reverse closure for an orthonormal basis. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
obsrcl	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem obsrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 21673	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) = {(0g‘𝑊)})))
9	8	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  ifcif 4477  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  Scalarcsca 17178  ·_𝑖cip 17180  0_gc0g 17357  1_rcur 20114  PreHilcphl 21577  ocvcocv 21613  OBasiscobs 21655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7359  df-obs 21658

This theorem is referenced by:  obsne0  21678  obs2ocv  21680  obselocv  21681  obslbs  21683