Theorem obsrcl 21607

Description: Reverse closure for an orthonormal basis. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
obsrcl	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem obsrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2724	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2724	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2724	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2724	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
7		eqid 2724	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 21604	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) = {(0g‘𝑊)})))
9	8	simp1bi 1142	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053   ⊆ wss 3941  ifcif 4521  {csn 4621  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  ·_𝑖cip 17207  0_gc0g 17390  1_rcur 20082  PreHilcphl 21506  ocvcocv 21542  OBasiscobs 21586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-ov 7405  df-obs 21589

This theorem is referenced by:  obsne0  21609  obs2ocv  21611  obselocv  21612  obslbs  21614