Theorem obsrcl 22029

Description: Reverse closure for an orthonormal basis. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
obsrcl	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem obsrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 22026	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ((ocv‘𝑊)‘𝐵) = {(0g‘𝑊)})))
9	8	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  Scalarcsca 17431  ·_𝑖cip 17433  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  PreHilcphl 21930  ocvcocv 21966  OBasiscobs 22008

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-obs 22011

This theorem is used by:  obsne0  22031  obs2ocv  22033  obselocv  22034  obslbs  22036