Theorem obsocv 21693

Description: An orthonormal basis has trivial orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obsocv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
obsocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsocv	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 })

Proof of Theorem obsocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		obsocv.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7		obsocv.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 21687	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 })))
9	8	simp3bi 1148	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 }))
10	9	simprd 495	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192  ·_𝑖cip 17194  0_gc0g 17371  1_rcur 20128  PreHilcphl 21591  ocvcocv 21627  OBasiscobs 21669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-obs 21672

This theorem is referenced by:  obs2ocv  21694  obs2ss  21696