Theorem obsocv 21708

Description: An orthonormal basis has trivial orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obsocv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
obsocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsocv	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 })

Proof of Theorem obsocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		obsocv.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7		obsocv.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 21702	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 })))
9	8	simp3bi 1153	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 }))
10	9	simprd 496	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054   ⊆ wss 3890  ifcif 4461  {csn 4562  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  Scalarcsca 17221  ·_𝑖cip 17223  0_gc0g 17400  1_rcur 20160  PreHilcphl 21606  ocvcocv 21642  OBasiscobs 21684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7366  df-obs 21687

This theorem is referenced by:  obs2ocv  21709  obs2ss  21711