Theorem obsocv 21665

Description: An orthonormal basis has trivial orthocomplement. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obsocv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
obsocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obsocv	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 })

Proof of Theorem obsocv

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
6		obsocv.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
7		obsocv.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isobs 21659	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 })))
9	8	simp3bi 1147	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = if(𝑥 = 𝑦, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 }))
10	9	simprd 495	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘𝐵) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ⊆ wss 3898  ifcif 4474  {csn 4575  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  Scalarcsca 17166  ·_𝑖cip 17168  0_gc0g 17345  1_rcur 20101  PreHilcphl 21563  ocvcocv 21599  OBasiscobs 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7355  df-obs 21644

This theorem is referenced by:  obs2ocv  21666  obs2ss  21668