Theorem obs2ocv 21642

Description: The double orthocomplement (closure) of an orthonormal basis is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obs2ocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
obs2ocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obs2ocv	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝐵)) = 𝑉)

Proof of Theorem obs2ocv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2		obs2ocv.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	obsocv 21641	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘𝐵) = {(0g‘𝑊)})
4	3	fveq2d 6869	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝐵)) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑊)}))
5		obsrcl 21638	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
6		obs2ocv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7	6, 2, 1	ocvz 21593	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑊)}) = 𝑉)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑊)}) = 𝑉)
9	4, 8	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝐵)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4597  ‘cfv 6519  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  PreHilcphl 21539  ocvcocv 21575  OBasiscobs 21617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-er 8682  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-ghm 19151  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-rhm 20387  df-staf 20754  df-srng 20755  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lmhm 20935  df-lvec 21016  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-phl 21541  df-ocv 21578  df-obs 21620

This theorem is referenced by:  obslbs  21645