Theorem obs2ocv 21582

Description: The double orthocomplement (closure) of an orthonormal basis is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
obs2ocv.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
obs2ocv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
obs2ocv	⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝐵)) = 𝑉)

Proof of Theorem obs2ocv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
2		obs2ocv.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
3	1, 2	obsocv 21581	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘𝐵) = {(0g‘𝑊)})
4	3	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝐵)) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑊)}))
5		obsrcl 21578	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
6		obs2ocv.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
7	6, 2, 1	ocvz 21531	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑊)}) = 𝑉)
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑊)}) = 𝑉)
9	4, 8	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝐵)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4620  ‘cfv 6533  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  PreHilcphl 21477  ocvcocv 21513  OBasiscobs 21557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-ghm 19124  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-rhm 20359  df-staf 20673  df-srng 20674  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-lmhm 20855  df-lvec 20936  df-sra 21006  df-rgmod 21007  df-phl 21479  df-ocv 21516  df-obs 21560

This theorem is referenced by:  obslbs  21585