Theorem obs2ss 21750

Description: A basis has no proper subsets that are also bases. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
obs2ss	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem obs2ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3	2	obsne0 21746	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑊))
4	3	3ad2antl1 1185	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑊))
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
6	5	obselocv 21749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
7	6	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
8	7	3adantl2 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
9		simpl2 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊))
10	2, 5	obsocv 21747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g‘𝑊)})
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g‘𝑊)})
12	11	eleq2d 2826	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝑊)}))
13		elsni 4642	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑊)} → 𝑥 = (0g‘𝑊))
14	12, 13	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) → 𝑥 = (0g‘𝑊)))
15	8, 14	sylbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 = (0g‘𝑊)))
16	15	necon1ad 2956	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ (0g‘𝑊) → 𝑥 ∈ 𝐶))
17	4, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	1, 17	eqelssd 4004	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3950  {csn 4625  ‘cfv 6560  0_gc0g 17485  ocvcocv 21679  OBasiscobs 21723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-ghm 19232  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-rhm 20473  df-drng 20732  df-staf 20841  df-srng 20842  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lmhm 21022  df-lvec 21103  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-phl 21645  df-ocv 21682  df-obs 21726

This theorem is referenced by: (None)