Theorem obs2ss 20494

Description: A basis has no proper subsets that are also bases. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
obs2ss	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem obs2ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1135	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
2		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3	2	obsne0 20490	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑊))
4	3	3ad2antl1 1182	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑊))
5		eqid 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
6	5	obselocv 20493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
7	6	3expa 1115	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
8	7	3adantl2 1164	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
9		simpl2 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊))
10	2, 5	obsocv 20491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g‘𝑊)})
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g‘𝑊)})
12	11	eleq2d 2837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝑊)}))
13		elsni 4539	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑊)} → 𝑥 = (0g‘𝑊))
14	12, 13	syl6bi 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) → 𝑥 = (0g‘𝑊)))
15	8, 14	sylbird 263	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 = (0g‘𝑊)))
16	15	necon1ad 2968	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ (0g‘𝑊) → 𝑥 ∈ 𝐶))
17	4, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	1, 17	eqelssd 3913	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ⊆ wss 3858  {csn 4522  ‘cfv 6335  0_gc0g 16771  ocvcocv 20425  OBasiscobs 20467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-ghm 18423  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-rnghom 19538  df-drng 19572  df-staf 19684  df-srng 19685  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lmhm 19862  df-lvec 19943  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-phl 20391  df-ocv 20428  df-obs 20470

This theorem is referenced by: (None)