Theorem obs2ss 21948

Description: A basis has no proper subsets that are also bases. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
obs2ss	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem obs2ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3	2	obsne0 21944	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑊))
4	3	3ad2antl1 1204	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑊))
5		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
6	5	obselocv 21947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
7	6	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
8	7	3adantl2 1186	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
9		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊))
10	2, 5	obsocv 21945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g‘𝑊)})
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g‘𝑊)})
12	11	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝑊)}))
13		elsni 4604	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑊)} → 𝑥 = (0g‘𝑊))
14	12, 13	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) → 𝑥 = (0g‘𝑊)))
15	8, 14	sylbird 263	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 = (0g‘𝑊)))
16	15	necon1ad 2974	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ (0g‘𝑊) → 𝑥 ∈ 𝐶))
17	4, 16	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	1, 17	eqelssd 3955	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  {csn 4587  ‘cfv 6537  0_gc0g 17530  ocvcocv 21879  OBasiscobs 21921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-ghm 19347  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-rhm 20619  df-drng 20898  df-staf 21011  df-srng 21012  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lmhm 21212  df-lvec 21293  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-phl 21845  df-ocv 21882  df-obs 21924

This theorem is used by: (None)