Theorem obs2ss 20398

Description: A basis has no proper subsets that are also bases. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
obs2ss	⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem obs2ss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1169	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
2		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3	2	obsne0 20394	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑊))
4	3	3ad2antl1 1237	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑊))
5		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
6	5	obselocv 20397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
7	6	3expa 1148	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
8	7	3adantl2 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
9		simpl2 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊))
10	2, 5	obsocv 20395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g‘𝑊)})
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g‘𝑊)})
12	11	eleq2d 2864	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ {(0g‘𝑊)}))
13		elsni 4385	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(0g‘𝑊)} → 𝑥 = (0g‘𝑊))
14	12, 13	syl6bi 245	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) → 𝑥 = (0g‘𝑊)))
15	8, 14	sylbird 252	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 = (0g‘𝑊)))
16	15	necon1ad 2988	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ≠ (0g‘𝑊) → 𝑥 ∈ 𝐶))
17	4, 16	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶)
18	1, 17	eqelssd 3818	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐶 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971   ⊆ wss 3769  {csn 4368  ‘cfv 6101  0_gc0g 16415  ocvcocv 20329  OBasiscobs 20371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-ghm 17971  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-rnghom 19033  df-drng 19067  df-staf 19163  df-srng 19164  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lmhm 19343  df-lvec 19424  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-phl 20295  df-ocv 20332  df-obs 20374

This theorem is referenced by: (None)