Theorem onfrALTlem5VD 45125

Description: Virtual deduction proof of onfrALTlem5 44783. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. onfrALTlem5 44783 is onfrALTlem5VD 45125 without virtual deductions and was automatically derived from onfrALTlem5VD 45125.

1::	⊢ 𝑎 ∈ V
2:1:	⊢ (𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V
3:2:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)
4:3:	⊢ (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)
5::	⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑎 ∩ 𝑥 ) = ∅)
6:4,5:	⊢ (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
7:2:	⊢ (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]¬ 𝑏 = ∅)
8::	⊢ (𝑏 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑏 = ∅)
9:8:	⊢ ∀𝑏(𝑏 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑏 = ∅)
10:2,9:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]¬ 𝑏 = ∅)
11:7,10:	⊢ (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅)
12:6,11:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ ( 𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
13:2:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥 ) ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥))
14:12,13:	⊢ (([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
15:2:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅))
16:15,14:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
17:2:	⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ( ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 ∩ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦)
18:2:	⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 = (𝑎 ∩ 𝑥)
19:2:	⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦 = 𝑦
20:18,19:	⊢ (⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 ∩ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦) = ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)
21:17,20:	⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = (( 𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)
22:2:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌ ∅)
23:2:	⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅ = ∅
24:21,23:	⊢ (⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅ ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
25:22,24:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
26:2:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ↔ 𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥))
27:25,26:	⊢ (([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ∧ [ (𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (( 𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
28:2:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
29:27,28:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
30:29:	⊢ ∀𝑦([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
31:30:	⊢ (∃𝑦[(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
32::	⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ))
33:31,32:	⊢ (∃𝑦[(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
34:2:	⊢ (∃𝑦[(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ ( 𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
35:33,34:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)
36::	⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑏(𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 (𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
37:36:	⊢ ∀𝑏(∃𝑦 ∈ 𝑏(𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
38:2,37:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏(𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
39:35,38:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏(𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
40:16,39:	⊢ (([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏(𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
41:2:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏(𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏(𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
qed:40,41:	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏(𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥 )((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))

(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
onfrALTlem5VD	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝑏,𝑦

Proof of Theorem onfrALTlem5VD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3444	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
2	1	inex1 5262	. . 3 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V
3		sbcimg 3789	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅)))
4	2, 3	e0a 45012	. 2 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
5		sbcan 3790	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅))
6		sseq1 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∩ 𝑥) → (𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥)))
7	2, 6	sbcie 3782	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥))
8		df-ne 2933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑏 = ∅)
9	8	sbcbii 3797	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅)
10		sbcng 3788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅ ↔ ¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅))
11	10	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅))
12	2, 11	e0a 45012	. . . . . 6 ⊢ (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅)
13		eqsbc1 3787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅))
14	2, 13	e0a 45012	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)
15	14	necon3bbii 2979	. . . . . 6 ⊢ (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
16	9, 12, 15	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
17	7, 16	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ (([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
18	5, 17	bitri 275	. . 3 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
19		df-rex 3061	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
20	19	sbcbii 3797	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
21		sbcan 3790	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
22		sbcel2gv 3807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ↔ 𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)))
23	2, 22	e0a 45012	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ↔ 𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥))
24		sbceqg 4364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅))
25	2, 24	e0a 45012	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅)
26		csbin 4394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = (⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 ∩ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦)
27		csbvarg 4386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 = (𝑎 ∩ 𝑥))
28	2, 27	e0a 45012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 = (𝑎 ∩ 𝑥)
29		csbconstg 3868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦 = 𝑦)
30	2, 29	e0a 45012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦 = 𝑦
31	28, 30	ineq12i 4170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 ∩ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦) = ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)
32	26, 31	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)
33		csb0 4362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅ = ∅
34	32, 33	eqeq12i 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅ ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
35	25, 34	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
36	23, 35	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ (([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
37	21, 36	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
38	37	exbii 1849	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦[(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
39		sbcex2 3801	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦[(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
40		df-rex 3061	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
41	38, 39, 40	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
42	20, 41	bitri 275	. . 3 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
43	18, 42	imbi12i 350	. 2 ⊢ (([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
44	4, 43	bitri 275	1 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3440  [wsbc 3740  ⦋csb 3849   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286

This theorem is referenced by: (None)