Users' Mathboxes Mathbox for Alan Sare < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onfrALTlem5VD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onfrALTlem5VD 44327
Description: Virtual deduction proof of onfrALTlem5 43984. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. onfrALTlem5 43984 is onfrALTlem5VD 44327 without virtual deductions and was automatically derived from onfrALTlem5VD 44327.
1:: 𝑎 ∈ V
2:1: (𝑎𝑥) ∈ V
3:2: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎 𝑥) = ∅)
4:3: [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ ¬ (𝑎𝑥) = ∅)
5:: ((𝑎𝑥) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑎𝑥 ) = ∅)
6:4,5: [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎𝑥) ≠ ∅)
7:2: [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎𝑥) / 𝑏]¬ 𝑏 = ∅)
8:: (𝑏 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑏 = ∅)
9:8: 𝑏(𝑏 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑏 = ∅)
10:2,9: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ [(𝑎𝑥) / 𝑏]¬ 𝑏 = ∅)
11:7,10: [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅)
12:6,11: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ ( 𝑎𝑥) ≠ ∅)
13:2: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎𝑥 ) ↔ (𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥))
14:12,13: (([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 𝑥) ∧ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎𝑥) ⊆ (𝑎 𝑥) ∧ (𝑎𝑥) ≠ ∅))
15:2: ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅))
16:15,14: ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝑥) ≠ ∅))
17:2: (𝑎𝑥) / 𝑏(𝑏𝑦) = ( (𝑎𝑥) / 𝑏𝑏(𝑎𝑥) / 𝑏𝑦)
18:2: (𝑎𝑥) / 𝑏𝑏 = (𝑎𝑥)
19:2: (𝑎𝑥) / 𝑏𝑦 = 𝑦
20:18,19: ((𝑎𝑥) / 𝑏𝑏(𝑎 𝑥) / 𝑏𝑦) = ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)
21:17,20: (𝑎𝑥) / 𝑏(𝑏𝑦) = (( 𝑎𝑥) ∩ 𝑦)
22:2: ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏𝑦) = ∅ ↔ (𝑎𝑥) / 𝑏(𝑏𝑦) = (𝑎𝑥) / 𝑏 ∅)
23:2: (𝑎𝑥) / 𝑏∅ = ∅
24:21,23: ((𝑎𝑥) / 𝑏(𝑏𝑦) = (𝑎𝑥) / 𝑏∅ ↔ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
25:22,24: ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏𝑦) = ∅ ↔ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
26:2: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏𝑦 (𝑎𝑥))
27:25,26: (([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏[ (𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ (( 𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
28:2: ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏 𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏[(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏𝑦) = ∅))
29:27,28: ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏 𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
30:29: 𝑦([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
31:30: (∃𝑦[(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) 𝑦) = ∅))
32:: (∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ))
33:31,32: (∃𝑦[(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
34:2: (∃𝑦[(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦(𝑦𝑏 ∧ ( 𝑏𝑦) = ∅))
35:33,34: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦(𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦 ) = ∅)
36:: (∃𝑦𝑏(𝑏𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 (𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅))
37:36: 𝑏(∃𝑦𝑏(𝑏𝑦) = ∅ ↔ 𝑦(𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅))
38:2,37: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏(𝑏 𝑦) = ∅ ↔ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦(𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅))
39:35,38: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏(𝑏 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
40:16,39: (([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏(𝑏 𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
41:2: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑏(𝑏𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏(𝑏𝑦) = ∅))
qed:40,41: ([(𝑎𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑏(𝑏𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎 𝑥) ⊆ (𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥 )((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
(Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
onfrALTlem5VD ([(𝑎𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝑏,𝑦

Proof of Theorem onfrALTlem5VD
StepHypRef Expression
1 vex 3475 . . . 4 𝑎 ∈ V
21inex1 5319 . . 3 (𝑎𝑥) ∈ V
3 sbcimg 3828 . . 3 ((𝑎𝑥) ∈ V → ([(𝑎𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅)))
42, 3e0a 44214 . 2 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅))
5 sbcan 3829 . . . 4 ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅))
6 sseq1 4005 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑎𝑥) → (𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ↔ (𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥)))
72, 6sbcie 3820 . . . . 5 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ↔ (𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥))
8 df-ne 2937 . . . . . . 7 (𝑏 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑏 = ∅)
98sbcbii 3837 . . . . . 6 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ [(𝑎𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅)
10 sbcng 3827 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑥) ∈ V → ([(𝑎𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅ ↔ ¬ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅))
1110bicomd 222 . . . . . . 7 ((𝑎𝑥) ∈ V → (¬ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅))
122, 11e0a 44214 . . . . . 6 [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅)
13 eqsbc1 3826 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑥) ∈ V → ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎𝑥) = ∅))
142, 13e0a 44214 . . . . . . 7 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎𝑥) = ∅)
1514necon3bbii 2984 . . . . . 6 [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎𝑥) ≠ ∅)
169, 12, 153bitr2i 298 . . . . 5 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ (𝑎𝑥) ≠ ∅)
177, 16anbi12i 626 . . . 4 (([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝑥) ≠ ∅))
185, 17bitri 274 . . 3 ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝑥) ≠ ∅))
19 df-rex 3067 . . . . 5 (∃𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅))
2019sbcbii 3837 . . . 4 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅ ↔ [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦(𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅))
21 sbcan 3829 . . . . . . 7 ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏[(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏𝑦) = ∅))
22 sbcel2gv 3848 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑥) ∈ V → ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏𝑦 ∈ (𝑎𝑥)))
232, 22e0a 44214 . . . . . . . 8 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏𝑦 ∈ (𝑎𝑥))
24 sbceqg 4411 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑥) ∈ V → ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏𝑦) = ∅ ↔ (𝑎𝑥) / 𝑏(𝑏𝑦) = (𝑎𝑥) / 𝑏∅))
252, 24e0a 44214 . . . . . . . . 9 ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏𝑦) = ∅ ↔ (𝑎𝑥) / 𝑏(𝑏𝑦) = (𝑎𝑥) / 𝑏∅)
26 csbin 4441 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑥) / 𝑏(𝑏𝑦) = ((𝑎𝑥) / 𝑏𝑏(𝑎𝑥) / 𝑏𝑦)
27 csbvarg 4433 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑥) ∈ V → (𝑎𝑥) / 𝑏𝑏 = (𝑎𝑥))
282, 27e0a 44214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑥) / 𝑏𝑏 = (𝑎𝑥)
29 csbconstg 3911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑥) ∈ V → (𝑎𝑥) / 𝑏𝑦 = 𝑦)
302, 29e0a 44214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎𝑥) / 𝑏𝑦 = 𝑦
3128, 30ineq12i 4210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑥) / 𝑏𝑏(𝑎𝑥) / 𝑏𝑦) = ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)
3226, 31eqtri 2755 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑥) / 𝑏(𝑏𝑦) = ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦)
33 csb0 4409 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑥) / 𝑏∅ = ∅
3432, 33eqeq12i 2745 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑥) / 𝑏(𝑏𝑦) = (𝑎𝑥) / 𝑏∅ ↔ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
3525, 34bitri 274 . . . . . . . 8 ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏𝑦) = ∅ ↔ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
3623, 35anbi12i 626 . . . . . . 7 (([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏[(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
3721, 36bitri 274 . . . . . 6 ([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
3837exbii 1842 . . . . 5 (∃𝑦[(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
39 sbcex2 3841 . . . . 5 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦(𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦[(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅))
40 df-rex 3067 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎𝑥) ∧ ((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
4138, 39, 403bitr4i 302 . . . 4 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦(𝑦𝑏 ∧ (𝑏𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
4220, 41bitri 274 . . 3 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
4318, 42imbi12i 349 . 2 (([(𝑎𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎𝑥) / 𝑏]𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
444, 43bitri 274 1 ([(𝑎𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑏 (𝑏𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎𝑥) ⊆ (𝑎𝑥) ∧ (𝑎𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎𝑥)((𝑎𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2936  wrex 3066  Vcvv 3471  [wsbc 3776  csb 3892  cin 3946  wss 3947  c0 4324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator