Theorem sbcie 3783

Description: Conversion of implicit substitution to explicit class substitution. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbcie.1	⊢ 𝐴 ∈ V
sbcie.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
sbcie	⊢ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem sbcie

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcie.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		sbcie.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	sbcieg 3781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  [wsbc 3742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-sbc 3743

This theorem is used by:  sbc2ie  3818  csbie  3886  rexopabb  5509  reuop  6322  tfinds2  7909  soseq  8213  findcard2  9218  ac6sfi  9313  ac6num  10596  fpwwe  10770  nn1suc  12397  wrdind  14913  cjth  15313  fprodser  16160  prmind2  16904  joinlem  18605  meetlem  18619  mndind  19074  isghm  19480  islmod  21190  islindf  22173  fgcl  24252  cfinfil  24267  csdfil  24268  supfil  24269  fin1aufil  24306  quotval  26668  dfconngr1  30846  isconngr  30847  isconngr1  30848  wrdt2ind  33612  bnj62  35462  bnj610  35489  bnj976  35519  bnj106  35609  bnj125  35613  bnj154  35619  bnj155  35620  bnj526  35629  bnj540  35633  bnj591  35652  bnj609  35658  bnj893  35669  bnj1417  35782  poimirlem27  38833  sdclem2  38942  fdc  38945  fdc1  38946  lshpkrlem3  40435  hdmap1fval  43119  hdmapfval  43150  sn-isghm  43950  rabren3dioph  44088  2nn0ind  44218  zindbi  44219  onfrALTlem5  45785  onfrALTlem5VD  46127  reupr  48877