Theorem sbcie 3783

Description: Conversion of implicit substitution to explicit class substitution. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbcie.1	⊢ 𝐴 ∈ V
sbcie.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
sbcie	⊢ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem sbcie

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcie.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		sbcie.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	sbcieg 3781	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  [wsbc 3742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-tru 1562  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-sbc 3743

This theorem is referenced by:  sbc2ie  3817  csbie  3885  rexopabb  5495  reuop  6274  tfinds2  7838  soseq  8132  findcard2  9126  ac6sfi  9221  ac6num  10429  fpwwe  10597  nn1suc  12225  wrdind  14728  cjth  15120  fprodser  15969  prmind2  16709  joinlem  18403  meetlem  18417  mndind  18852  isghm  19246  islmod  20918  islindf  21851  fgcl  23925  cfinfil  23940  csdfil  23941  supfil  23942  fin1aufil  23979  quotval  26343  dfconngr1  30346  isconngr  30347  isconngr1  30348  wrdt2ind  33091  bnj62  34976  bnj610  35003  bnj976  35033  bnj106  35123  bnj125  35127  bnj154  35133  bnj155  35134  bnj526  35143  bnj540  35147  bnj591  35166  bnj609  35172  bnj893  35183  bnj1417  35296  poimirlem27  38106  sdclem2  38201  fdc  38204  fdc1  38205  lshpkrlem3  39696  hdmap1fval  42380  hdmapfval  42411  sn-isghm  43215  rabren3dioph  43352  2nn0ind  43482  zindbi  43483  onfrALTlem5  45078  onfrALTlem5VD  45420  reupr  48088