Theorem onfrALTlem5 44969

Description: Lemma for onfrALT 44976. (Contributed by Alan Sare, 22-Jul-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
onfrALTlem5	⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑦   𝑥,𝑏,𝑦

Proof of Theorem onfrALTlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3433	. . . 4 ⊢ 𝑎 ∈ V
2	1	inex1 5258	. . 3 ⊢ (𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V
3		sbcimg 3777	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅)))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
5		sbcan 3778	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅))
6		sseq1 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑎 ∩ 𝑥) → (𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥)))
7	2, 6	sbcie 3770	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥))
8		df-ne 2933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝑏 = ∅)
9	8	sbcbii 3785	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅)
10		sbcng 3776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅ ↔ ¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅))
11	10	bicomd 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅))
12	2, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏] ¬ 𝑏 = ∅)
13		eqsbc1 3775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅))
14	2, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) = ∅)
15	14	necon3bbii 2979	. . . . . 6 ⊢ (¬ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 = ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
16	9, 12, 15	3bitr2i 299	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅ ↔ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅)
17	7, 16	anbi12i 629	. . . 4 ⊢ (([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
18	5, 17	bitri 275	. . 3 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅))
19		df-rex 3062	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
20	19	sbcbii 3785	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
21		sbcan 3778	. . . . . . 7 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
22		sbcel2gv 3795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ↔ 𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)))
23	2, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ↔ 𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥))
24		sbceqg 4352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅))
25	2, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅)
26		csbin 4382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = (⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 ∩ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦)
27		csbvarg 4374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 = (𝑎 ∩ 𝑥))
28	2, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 = (𝑎 ∩ 𝑥)
29		csbconstg 3856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∈ V → ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦 = 𝑦)
30	2, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦 = 𝑦
31	28, 30	ineq12i 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑏 ∩ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌𝑦) = ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)
32	26, 31	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦)
33		csb0 4350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅ = ∅
34	32, 33	eqeq12i 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌(𝑏 ∩ 𝑦) = ⦋(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏⦌∅ ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
35	25, 34	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
36	23, 35	anbi12i 629	. . . . . . 7 ⊢ (([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]𝑦 ∈ 𝑏 ∧ [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
37	21, 36	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
38	37	exbii 1850	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦[(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
39		sbcex2 3789	. . . . 5 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦[(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅))
40		df-rex 3062	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ ((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
41	38, 39, 40	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦(𝑦 ∈ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
42	20, 41	bitri 275	. . 3 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅)
43	18, 42	imbi12i 350	. 2 ⊢ (([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏](𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → [(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))
44	4, 43	bitri 275	1 ⊢ ([(𝑎 ∩ 𝑥) / 𝑏]((𝑏 ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ 𝑏 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑏 (𝑏 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (((𝑎 ∩ 𝑥) ⊆ (𝑎 ∩ 𝑥) ∧ (𝑎 ∩ 𝑥) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑎 ∩ 𝑥)((𝑎 ∩ 𝑥) ∩ 𝑦) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  [wsbc 3728  ⦋csb 3837   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274

This theorem is referenced by:  onfrALTlem3  44971  onfrALTlem3VD  45313