Theorem opf2fval 49892

Description: The morphism part of the op functor on functor categories. Lemma for fucoppc 49897. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opf2fval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
opf2fval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
opf2fval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opf2fval	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opf2fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opf2fval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
2		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
3		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
4	2, 3	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑦𝑁𝑥) = (𝑌𝑁𝑋))
5	4	reseq2d 5938	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥)) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))
6		opf2fval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7		opf2fval.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		ovexd 7395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝑁𝑋) ∈ V)
9		resiexg 7856	. . 3 ⊢ ((𝑌𝑁𝑋) ∈ V → ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)) ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)) ∈ V)
11	1, 5, 6, 7, 10	ovmpod 7512	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   I cid 5518   ↾ cres 5626  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365

This theorem is referenced by:  opf2  49893  fucoppc  49897