Theorem opf2fval 50647

Description: The morphism part of the op functor on functor categories. Lemma for fucoppc 50652. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opf2fval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
opf2fval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
opf2fval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opf2fval	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem opf2fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opf2fval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
2		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
3		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
4	2, 3	oveq12d 7440	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑦𝑁𝑥) = (𝑌𝑁𝑋))
5	4	reseq2d 5970	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥)) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))
6		opf2fval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7		opf2fval.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		ovexd 7457	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝑁𝑋) ∈ V)
9		resiexg 7926	. . 3 ⊢ ((𝑌𝑁𝑋) ∈ V → ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)) ∈ V)
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)) ∈ V)
11	1, 5, 6, 7, 10	ovmpod 7574	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   I cid 5544   ↾ cres 5652  (class class class)co 7422   ∈ cmpo 7424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-res 5662  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427

This theorem is used by:  opf2  50648  fucoppc  50652