Theorem opf2fval 50871

Description: The morphism part of the op functor on functor categories. Lemma for fucoppc 50876. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opf2fval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
opf2fval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
opf2fval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
opf2fval	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem opf2fval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opf2fval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
2		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
3		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
4	2, 3	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → (𝑦𝑁𝑥) = (𝑌𝑁𝑋))
5	4	reseq2d 5986	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥)) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))
6		opf2fval.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7		opf2fval.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		ovexd 7486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝑁𝑋) ∈ V)
9		resiexg 7958	. . 3 ⊢ ((𝑌𝑁𝑋) ∈ V → ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)) ∈ V)
10	8, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)) ∈ V)
11	1, 5, 6, 7, 10	ovmpod 7604	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   I cid 5552   ↾ cres 5660  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-res 5670  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456

This theorem is used by:  opf2  50872  fucoppc  50876