Theorem opf2 49438

Description: The morphism part of the op functor on functor categories. Lemma for fucoppc 49442. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opf2fval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
opf2fval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
opf2fval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
opf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
opf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋))

Assertion

Ref	Expression
opf2	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opf2fval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
2		opf2fval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		opf2fval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	opf2fval 49437	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))
5		opf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
6	4, 5	fveq12d 6824	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷))
7		opf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋))
8		fvresi 7102	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋) → (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷) = 𝐷)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷) = 𝐷)
10	6, 9	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   I cid 5505   ↾ cres 5613  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-res 5623  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346

This theorem is referenced by:  fucoppcid  49440  fucoppcco  49441  oppfdiag  49448  lmddu  49699