Theorem opf2 49375

Description: The morphism part of the op functor on functor categories. Lemma for fucoppc 49379. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opf2fval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
opf2fval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
opf2fval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
opf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
opf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋))

Assertion

Ref	Expression
opf2	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opf2fval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
2		opf2fval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		opf2fval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	opf2fval 49374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))
5		opf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
6	4, 5	fveq12d 6867	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷))
7		opf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋))
8		fvresi 7149	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋) → (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷) = 𝐷)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷) = 𝐷)
10	6, 9	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5534   ↾ cres 5642  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-res 5652  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394

This theorem is referenced by:  fucoppcid  49377  fucoppcco  49378  oppfdiag  49385  lmddu  49635