Theorem opf2 50184

Description: The morphism part of the op functor on functor categories. Lemma for fucoppc 50188. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opf2fval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
opf2fval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
opf2fval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
opf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
opf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋))

Assertion

Ref	Expression
opf2	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem opf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opf2fval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
2		opf2fval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		opf2fval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	opf2fval 50183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))
5		opf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
6	4, 5	fveq12d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷))
7		opf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋))
8		fvresi 7171	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋) → (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷) = 𝐷)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷) = 𝐷)
10	6, 9	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   I cid 5555   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-res 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415

This theorem is referenced by:  fucoppcid  50186  fucoppcco  50187  oppfdiag  50194  lmddu  50445