Theorem opf2 50483

Description: The morphism part of the op functor on functor categories. Lemma for fucoppc 50487. (Contributed by Zhi Wang, 18-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opf2fval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
opf2fval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
opf2fval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
opf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
opf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋))

Assertion

Ref	Expression
opf2	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem opf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opf2fval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑁𝑥))))
2		opf2fval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		opf2fval.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	opf2fval 50482	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = ( I ↾ (𝑌𝑁𝑋)))
5		opf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
6	4, 5	fveq12d 6890	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷))
7		opf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋))
8		fvresi 7176	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (𝑌𝑁𝑋) → (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷) = 𝐷)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝑌𝑁𝑋))‘𝐷) = 𝐷)
10	6, 9	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌)‘𝐶) = 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423

This theorem is used by:  fucoppcid  50485  fucoppcco  50486  oppfdiag  50493  lmddu  50744