Theorem ovmpod 7557

Description: Value of an operation given by a maps-to rule, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovmpod.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
ovmpod.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpod.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
ovmpod.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
ovmpod.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ovmpod	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpod.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑅))
2		ovmpod.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵)) → 𝑅 = 𝑆)
3		eqidd 2734	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐷)
4		ovmpod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
5		ovmpod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
6		ovmpod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ovmpodx 7556	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411

This theorem is referenced by:  ovmpoga  7559  fvmpopr2d  7566  el2mpocsbcl  8068  fsplitfpar  8101  suppval  8145  sprmpod  8206  mpocurryd  8251  erov  8805  cnfcomlem  9691  swrdval  14590  pfxval  14620  splval  14698  0csh0  14740  relexp0g  14966  relexpsucnnr  14969  relexp1g  14970  ramval  16938  prdsval  17398  prdsplusgval  17416  prdsmulrval  17418  prdsdsval  17421  prdsvscaval  17422  imasval  17454  imasdsval  17458  qusval  17485  homfval  17633  comffval  17640  comfval  17641  oppccofval  17658  ismon  17677  sectfval  17695  invfval  17703  cofuval  17829  cofu2nd  17832  resfval  17839  isnat  17895  fucval  17907  fucco  17912  setchom  18027  setcco  18030  catchom  18050  catcco  18052  estrchom  18075  estrcco  18078  funcestrcsetclem5  18093  funcsetcestrclem5  18108  xpcval  18126  xpcid  18138  1stf2  18142  2ndf2  18145  prfval  18148  prf2fval  18150  evlfval  18167  evlf2  18168  evlf2val  18169  evlf1  18170  curfval  18173  uncfval  18184  diagval  18190  hof2fval  18205  hof2val  18206  yonedalem4a  18225  gsumvalx  18592  mgm2nsgrplem2  18797  mgm2nsgrplem3  18798  sgrp2nmndlem2  18802  sgrp2nmndlem3  18803  pwmndgplus  18813  symgov  19246  pj1fval  19557  isrim0OLD  20252  isrim0  20254  rmodislmodlem  20532  rmodislmod  20533  rmodislmodOLD  20534  frlmphl  21328  uvcfval  21331  psrval  21460  selvffval  21671  mamufval  21879  mamuval  21880  mamufv  21881  matinvgcell  21929  mpomatmul  21940  mat1ov  21942  dmatval  21986  dmatmulcl  21994  scmatval  21998  scmatscmiddistr  22002  scmatscm  22007  mvmulfval  22036  mvmulval  22037  1mavmul  22042  maducoeval  22133  symgmatr01  22148  gsummatr01lem3  22151  gsummatr01lem4  22152  gsummatr01  22153  cpmat  22203  mat2pmatfval  22217  mat2pmatvalel  22219  mat2pmatmul  22225  cpm2mfval  22243  cpm2mvalel  22245  m2cpminvid  22247  m2cpminvid2  22249  decpmatval0  22258  decpmate  22260  decpmataa0  22262  decpmatmul  22266  pmatcollpw1  22270  monmatcollpw  22273  pmatcollpwlem  22274  pmatcollpw  22275  pmatcollpwscmatlem2  22284  pm2mpval  22289  pm2mpf1  22293  mptcoe1matfsupp  22296  mp2pm2mplem3  22302  mp2pm2mplem4  22303  chmatval  22323  chpmatfval  22324  chp0mat  22340  cnfval  22729  cnpfval  22730  fmval  23439  fmf  23441  fcfval  23529  tsmsval2  23626  blvalps  23883  blval  23884  ishtpy  24480  isphtpy  24489  rrxnm  24900  rrxmval  24914  rrxdsfival  24922  ehl2eudisval  24932  limcfval  25381  q1pval  25663  r1pval  25666  ismidb  28019  ttgitvval  28129  ebtwntg  28230  ecgrtg  28231  ewlksfval  28848  wwlksnon  29095  wspthsnon  29096  iswwlksnon  29097  iswspthsnon  29100  numclwlk1lem2  29613  ofoprabco  31877  mntoval  32140  mgcoval  32144  idlsrgmulrval  32612  fedgmul  32705  smatfval  32764  lmatfval  32783  mdetpmtr1  32792  ofcfval  33085  sitmfval  33338  sseqval  33376  sseqf  33380  sseqp1  33383  cndprobval  33421  orvcval  33445  reprval  33611  lpadval  33677  satf  34333  satefv  34394  mclsval  34543  fwddifnval  35124  bj-imdirvallem  36050  finxpreclem1  36259  finxpreclem3  36263  ismtyval  36657  rrnmval  36685  aks6d1c2p2  40946  ovmpogad  41055  tfsconcatun  42073  rfovd  42738  fsovd  42745  fsovrfovd  42746  mnringmulrvald  42972  bccval  43083  fmuldfeqlem1  44285  rrndistlt  44993  hoidmvval  45280  hspval  45312  hoiqssbllem2  45326  smflimlem3  45476  copissgrp  46565  copisnmnd  46566  intopval  46599  rnghmval  46675  isrngisom  46680  rhmval  46707  cznrng  46807  rnghmsscmap2  46825  rnghmsscmap  46826  rngchomALTV  46837  rngccoALTV  46840  funcrngcsetc  46850  funcrngcsetcALT  46851  rhmsscmap2  46871  rhmsscmap  46872  funcringcsetc  46887  funcringcsetcALTV2lem5  46892  ringchomALTV  46900  ringccoALTV  46903  funcringcsetclem5ALTV  46915  srhmsubclem3  46927  srhmsubc  46928  fldhmsubc  46936  srhmsubcALTVlem2  46945  srhmsubcALTV  46946  fldhmsubcALTV  46954  lmod1lem1  47122  lmod1lem2  47123  lmod1lem3  47124  lmod1lem4  47125  lmod1lem5  47126  fdivval  47179  digval  47238  itcoval1  47303  itcoval2  47304  itcoval3  47305  itcovalsucov  47308  ackvalsuc1mpt  47318  rrx2plordisom  47363  sphere  47387  functhinclem3  47617