Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltcon1b 35359
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon1 28935 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltcon3.s < = (lt‘𝐾)
opltcon3.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltcon1b ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < 𝑋))

Proof of Theorem opltcon1b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 opltcon3.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
31, 2opoccl 35348 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
433adant3 1123 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
5 opltcon3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
61, 5, 2opltcon3b 35358 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( ‘( 𝑋))))
74, 6syld3an2 1480 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( ‘( 𝑋))))
81, 2opococ 35349 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
983adant3 1123 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
109breq2d 4898 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌) < ( ‘( 𝑋)) ↔ ( 𝑌) < 𝑋))
117, 10bitrd 271 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886  cfv 6135  Basecbs 16255  occoc 16346  ltcplt 17327  OPcops 35326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fv 6143  df-ov 6925  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-oposet 35330
This theorem is referenced by:  cvrcon3b  35431
  Copyright terms: Public domain W3C validator