Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltcon1b 38070
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon1 30752 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltcon3.s < = (lt‘𝐾)
opltcon3.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltcon1b ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < 𝑋))

Proof of Theorem opltcon1b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 opltcon3.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
31, 2opoccl 38059 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
433adant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
5 opltcon3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
61, 5, 2opltcon3b 38069 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( ‘( 𝑋))))
74, 6syld3an2 1411 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( ‘( 𝑋))))
81, 2opococ 38060 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
983adant3 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
109breq2d 5160 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌) < ( ‘( 𝑋)) ↔ ( 𝑌) < 𝑋))
117, 10bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6543  Basecbs 17143  occoc 17204  ltcplt 18260  OPcops 38037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-oposet 38041
This theorem is referenced by:  cvrcon3b  38142
  Copyright terms: Public domain W3C validator