Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltcon2b 37671
Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chsscon2 30447 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltcon3.s < = (lt‘𝐾)
opltcon3.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltcon2b ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < ( 𝑌) ↔ 𝑌 < ( 𝑋)))

Proof of Theorem opltcon2b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 opltcon3.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
31, 2opoccl 37659 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
433adant2 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
5 opltcon3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
61, 5, 2opltcon3b 37669 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < ( 𝑌) ↔ ( ‘( 𝑌)) < ( 𝑋)))
74, 6syld3an3 1410 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < ( 𝑌) ↔ ( ‘( 𝑌)) < ( 𝑋)))
81, 2opococ 37660 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
983adant2 1132 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
109breq1d 5116 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( ‘( 𝑌)) < ( 𝑋) ↔ 𝑌 < ( 𝑋)))
117, 10bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < ( 𝑌) ↔ 𝑌 < ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cfv 6497  Basecbs 17084  occoc 17142  ltcplt 18198  OPcops 37637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-oposet 37641
This theorem is referenced by:  cvrcon3b  37742
  Copyright terms: Public domain W3C validator