MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omlimcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlimcl 8529
Description: The product of any nonzero ordinal with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.24 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ด ยทo ๐ต))

Proof of Theorem omlimcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 6385 . . . 4 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
2 omcl 8486 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
3 eloni 6331 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
51, 4sylan2 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
65adantr 482 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
7 0ellim 6384 . . . . . . . 8 (Lim ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
8 n0i 4297 . . . . . . . 8 (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (Lim ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
10 n0i 4297 . . . . . . 7 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ ยฌ ๐ด = โˆ…)
119, 10anim12ci 615 . . . . . 6 ((Lim ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
1211adantll 713 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
1312adantll 713 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
14 om00 8526 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
1514notbid 318 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
16 ioran 983 . . . . . . 7 (ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
1715, 16bitrdi 287 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…)))
181, 17sylan2 594 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…)))
1918adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…)))
2013, 19mpbird 257 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
21 vex 3451 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ฆ โˆˆ V
2221sucid 6403 . . . . . . . . . 10 ๐‘ฆ โˆˆ suc ๐‘ฆ
23 omlim 8483 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
24 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ)))
2524biimpac 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ suc ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
2623, 25sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ suc ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
2722, 26eleqtrid 2840 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
28 eliun 4962 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
3029adantlr 714 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
31 onelon 6346 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
321, 31sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
33 onnbtwn 6415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ ยฌ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
34 imnan 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ) โ†” ยฌ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
3635com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
3832, 37mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)
3938ad5ant24 760 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)
40 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
4140, 31jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On))
421, 41sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On))
4342anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ On โˆง ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)))
4443anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)))
45 omcl 8486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On)
46 eloni 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
47 ordsucelsuc 7761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Ord (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ suc (๐ด ยทo ๐‘ฅ)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ suc (๐ด ยทo ๐‘ฅ)))
49 oa1suc 8481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) = suc (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
5049eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ (suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ suc (๐ด ยทo ๐‘ฅ)))
5148, 50bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o)))
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o)))
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o)))
54 eloni 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
55 ordgt0ge1 8443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Ord ๐ด โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” 1o โŠ† ๐ด))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” 1o โŠ† ๐ด))
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” 1o โŠ† ๐ด))
58 1on 8428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1o โˆˆ On
59 oaword 8500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On) โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)))
6058, 59mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On) โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)))
6145, 60syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)))
6257, 61bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)))
6362biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
64 omsuc 8476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
6663, 65sseqtrrd 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ))
6766sseld 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โ†’ suc ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
6853, 67sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ suc ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
69 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
7069biimprd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ (suc ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
7168, 70syl9 77 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ))))
7271com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ))))
7372adantlrl 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ))))
74 onsucb 7756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†” suc ๐‘ฅ โˆˆ On)
75 omord 8519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
76 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)
7775, 76syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
7874, 77syl3an2b 1405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
79783comr 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
80793expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
8180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
8273, 81syl6d 75 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)))
8344, 82sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)))
8483an32s 651 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)))
8584imp 408 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
8639, 85mtod 197 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
8786rexlimdva2 3151 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ))
8887adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ))
8930, 88mpd 15 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
9089pm2.01da 798 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
9190adantr 482 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
9291nrexdv 3143 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
93 ioran 983 . . 3 (ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†” (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โˆง ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ))
9420, 92, 93sylanbrc 584 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ))
95 dflim3 7787 . 2 (Lim (๐ด ยทo ๐ต) โ†” (Ord (๐ด ยทo ๐ต) โˆง ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)))
966, 94, 95sylanbrc 584 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ด ยทo ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โŠ† wss 3914  โˆ…c0 4286  โˆช ciun 4958  Ord word 6320  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  suc csuc 6323  (class class class)co 7361  1oc1o 8409   +o coa 8413   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  odi  8530  omass  8531  omlimcl2  41623  omlim2  41681
  Copyright terms: Public domain W3C validator