MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omlimcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlimcl 8578
Description: The product of any nonzero ordinal with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.24 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omlimcl (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ด ยทo ๐ต))

Proof of Theorem omlimcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 6429 . . . 4 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
2 omcl 8536 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On)
3 eloni 6375 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
42, 3syl 17 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
51, 4sylan2 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
65adantr 482 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐ต))
7 0ellim 6428 . . . . . . . 8 (Lim ๐ต โ†’ โˆ… โˆˆ ๐ต)
8 n0i 4334 . . . . . . . 8 (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (Lim ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต = โˆ…)
10 n0i 4334 . . . . . . 7 (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ ยฌ ๐ด = โˆ…)
119, 10anim12ci 615 . . . . . 6 ((Lim ๐ต โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
1211adantll 713 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
1312adantll 713 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
14 om00 8575 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
1514notbid 318 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…)))
16 ioran 983 . . . . . . 7 (ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
1715, 16bitrdi 287 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…)))
181, 17sylan2 594 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…)))
1918adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…)))
2013, 19mpbird 257 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ…)
21 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ฆ โˆˆ V
2221sucid 6447 . . . . . . . . . 10 ๐‘ฆ โˆˆ suc ๐‘ฆ
23 omlim 8533 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
24 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ)))
2524biimpac 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ suc ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
2623, 25sylan 581 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ suc ๐‘ฆ = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
2722, 26eleqtrid 2840 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
28 eliun 5002 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
3029adantlr 714 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
31 onelon 6390 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
321, 31sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
33 onnbtwn 6459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ ยฌ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
34 imnan 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ) โ†” ยฌ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
3533, 34sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
3635com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ On โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
3832, 37mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)
3938ad5ant24 760 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)
40 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
4140, 31jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On))
421, 41sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On))
4342anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ On โˆง ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)))
4443anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)))
45 omcl 8536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On)
46 eloni 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ Ord (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
47 ordsucelsuc 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Ord (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ suc (๐ด ยทo ๐‘ฅ)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ suc (๐ด ยทo ๐‘ฅ)))
49 oa1suc 8531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) = suc (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
5049eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ (suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ suc (๐ด ยทo ๐‘ฅ)))
5148, 50bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o)))
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o)))
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o)))
54 eloni 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ด โˆˆ On โ†’ Ord ๐ด)
55 ordgt0ge1 8493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Ord ๐ด โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” 1o โŠ† ๐ด))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐ด โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” 1o โŠ† ๐ด))
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” 1o โŠ† ๐ด))
58 1on 8478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1o โˆˆ On
59 oaword 8549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1o โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On) โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)))
6058, 59mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โˆˆ On) โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)))
6145, 60syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (1o โŠ† ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)))
6257, 61bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†” ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด)))
6362biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
64 omsuc 8526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) = ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o ๐ด))
6663, 65sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โŠ† (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ))
6766sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (suc ๐‘ฆ โˆˆ ((๐ด ยทo ๐‘ฅ) +o 1o) โ†’ suc ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
6853, 67sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ suc ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
69 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†” suc ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
7069biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ (suc ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
7168, 70syl9 77 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ))))
7271com23 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ))))
7372adantlrl 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ))))
74 onsucb 7805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ On โ†” suc ๐‘ฅ โˆˆ On)
75 omord 8568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†” (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ)))
76 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)
7775, 76syl6bir 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐ต โˆˆ On โˆง suc ๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
7874, 77syl3an2b 1405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
79783comr 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
80793expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
8180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ (๐ด ยทo suc ๐‘ฅ) โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
8273, 81syl6d 75 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)))
8344, 82sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)))
8483an32s 651 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ)))
8584imp 408 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ โ†’ ๐ต โˆˆ suc ๐‘ฅ))
8639, 85mtod 197 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ)) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
8786rexlimdva2 3158 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ))
8887adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ))
8930, 88mpd 15 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
9089pm2.01da 798 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
9190adantr 482 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ On) โ†’ ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
9291nrexdv 3150 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)
93 ioran 983 . . 3 (ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ) โ†” (ยฌ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โˆง ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ))
9420, 92, 93sylanbrc 584 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ))
95 dflim3 7836 . 2 (Lim (๐ด ยทo ๐ต) โ†” (Ord (๐ด ยทo ๐ต) โˆง ยฌ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆ… โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ On (๐ด ยทo ๐ต) = suc ๐‘ฆ)))
966, 94, 95sylanbrc 584 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ Lim (๐ด ยทo ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  โˆช ciun 4998  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   +o coa 8463   ยทo comu 8464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471
This theorem is referenced by:  odi  8579  omass  8580  omlimcl2  41991  omlim2  42049
  Copyright terms: Public domain W3C validator