![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > omword1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An ordinal is less than or equal to its product with another. Lemma 3.11 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
omword1 | โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ต) โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eloni 6367 | . . . . 5 โข (๐ต โ On โ Ord ๐ต) | |
2 | ordgt0ge1 8491 | . . . . 5 โข (Ord ๐ต โ (โ โ ๐ต โ 1o โ ๐ต)) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ต โ On โ (โ โ ๐ต โ 1o โ ๐ต)) |
4 | 3 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ต โ 1o โ ๐ต)) |
5 | 1on 8476 | . . . . . 6 โข 1o โ On | |
6 | omwordi 8569 | . . . . . 6 โข ((1o โ On โง ๐ต โ On โง ๐ด โ On) โ (1o โ ๐ต โ (๐ด ยทo 1o) โ (๐ด ยทo ๐ต))) | |
7 | 5, 6 | mp3an1 1444 | . . . . 5 โข ((๐ต โ On โง ๐ด โ On) โ (1o โ ๐ต โ (๐ด ยทo 1o) โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
8 | 7 | ancoms 458 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (1o โ ๐ต โ (๐ด ยทo 1o) โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
9 | om1 8540 | . . . . . 6 โข (๐ด โ On โ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด) | |
10 | 9 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด) |
11 | 10 | sseq1d 4008 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ((๐ด ยทo 1o) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
12 | 8, 11 | sylibd 238 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (1o โ ๐ต โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
13 | 4, 12 | sylbid 239 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ต โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
14 | 13 | imp 406 | 1 โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ต) โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wss 3943 โ c0 4317 Ord word 6356 Oncon0 6357 (class class class)co 7404 1oc1o 8457 ยทo comu 8462 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 ax-un 7721 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-oadd 8468 df-omul 8469 |
This theorem is referenced by: om00 8573 cantnflem3 9685 cantnflem4 9686 cnfcomlem 9693 omge1 42604 cantnftermord 42627 naddwordnexlem4 42709 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |