MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omword1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omword1 8598
Description: An ordinal is less than or equal to its product with another. Lemma 3.11 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omword1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต))

Proof of Theorem omword1
StepHypRef Expression
1 eloni 6382 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
2 ordgt0ge1 8518 . . . . 5 (Ord ๐ต โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” 1o โІ ๐ต))
31, 2syl 17 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” 1o โІ ๐ต))
43adantl 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” 1o โІ ๐ต))
5 1on 8503 . . . . . 6 1o โˆˆ On
6 omwordi 8596 . . . . . 6 ((1o โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (1o โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo 1o) โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
75, 6mp3an1 1444 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (1o โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo 1o) โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
87ancoms 457 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (1o โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo 1o) โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
9 om1 8567 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด)
109adantr 479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด)
1110sseq1d 4011 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo 1o) โІ (๐ด ยทo ๐ต) โ†” ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
128, 11sylibd 238 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (1o โІ ๐ต โ†’ ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
134, 12sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
1413imp 405 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3947  โˆ…c0 4324  Ord word 6371  Oncon0 6372  (class class class)co 7424  1oc1o 8484   ยทo comu 8489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-oadd 8495  df-omul 8496
This theorem is referenced by:  om00  8600  cantnflem3  9720  cantnflem4  9721  cnfcomlem  9728  omge1  42729  cantnftermord  42752  naddwordnexlem4  42834
  Copyright terms: Public domain W3C validator