MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omword1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omword1 8571
Description: An ordinal is less than or equal to its product with another. Lemma 3.11 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
omword1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต))

Proof of Theorem omword1
StepHypRef Expression
1 eloni 6367 . . . . 5 (๐ต โˆˆ On โ†’ Ord ๐ต)
2 ordgt0ge1 8491 . . . . 5 (Ord ๐ต โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” 1o โІ ๐ต))
31, 2syl 17 . . . 4 (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” 1o โІ ๐ต))
43adantl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†” 1o โІ ๐ต))
5 1on 8476 . . . . . 6 1o โˆˆ On
6 omwordi 8569 . . . . . 6 ((1o โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (1o โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo 1o) โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
75, 6mp3an1 1444 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐ด โˆˆ On) โ†’ (1o โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo 1o) โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
87ancoms 458 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (1o โІ ๐ต โ†’ (๐ด ยทo 1o) โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
9 om1 8540 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด)
109adantr 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด)
1110sseq1d 4008 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo 1o) โІ (๐ด ยทo ๐ต) โ†” ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
128, 11sylibd 238 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (1o โІ ๐ต โ†’ ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
134, 12sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ต โ†’ ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต)))
1413imp 406 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โІ (๐ด ยทo ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  Ord word 6356  Oncon0 6357  (class class class)co 7404  1oc1o 8457   ยทo comu 8462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469
This theorem is referenced by:  om00  8573  cantnflem3  9685  cantnflem4  9686  cnfcomlem  9693  omge1  42604  cantnftermord  42627  naddwordnexlem4  42709
  Copyright terms: Public domain W3C validator