![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > omword1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An ordinal is less than or equal to its product with another. Lemma 3.11 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.) |
Ref | Expression |
---|---|
omword1 | โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ต) โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eloni 6382 | . . . . 5 โข (๐ต โ On โ Ord ๐ต) | |
2 | ordgt0ge1 8518 | . . . . 5 โข (Ord ๐ต โ (โ โ ๐ต โ 1o โ ๐ต)) | |
3 | 1, 2 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ต โ On โ (โ โ ๐ต โ 1o โ ๐ต)) |
4 | 3 | adantl 480 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ต โ 1o โ ๐ต)) |
5 | 1on 8503 | . . . . . 6 โข 1o โ On | |
6 | omwordi 8596 | . . . . . 6 โข ((1o โ On โง ๐ต โ On โง ๐ด โ On) โ (1o โ ๐ต โ (๐ด ยทo 1o) โ (๐ด ยทo ๐ต))) | |
7 | 5, 6 | mp3an1 1444 | . . . . 5 โข ((๐ต โ On โง ๐ด โ On) โ (1o โ ๐ต โ (๐ด ยทo 1o) โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
8 | 7 | ancoms 457 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (1o โ ๐ต โ (๐ด ยทo 1o) โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
9 | om1 8567 | . . . . . 6 โข (๐ด โ On โ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด) | |
10 | 9 | adantr 479 | . . . . 5 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo 1o) = ๐ด) |
11 | 10 | sseq1d 4011 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ((๐ด ยทo 1o) โ (๐ด ยทo ๐ต) โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
12 | 8, 11 | sylibd 238 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (1o โ ๐ต โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
13 | 4, 12 | sylbid 239 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (โ โ ๐ต โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต))) |
14 | 13 | imp 405 | 1 โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง โ โ ๐ต) โ ๐ด โ (๐ด ยทo ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wss 3947 โ c0 4324 Ord word 6371 Oncon0 6372 (class class class)co 7424 1oc1o 8484 ยทo comu 8489 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-rep 5287 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pr 5431 ax-un 7744 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-ral 3058 df-rex 3067 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4325 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4911 df-iun 5000 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-tr 5268 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5635 df-we 5637 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-pred 6308 df-ord 6375 df-on 6376 df-lim 6377 df-suc 6378 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-om 7875 df-2nd 7998 df-frecs 8291 df-wrecs 8322 df-recs 8396 df-rdg 8435 df-1o 8491 df-oadd 8495 df-omul 8496 |
This theorem is referenced by: om00 8600 cantnflem3 9720 cantnflem4 9721 cnfcomlem 9728 omge1 42729 cantnftermord 42752 naddwordnexlem4 42834 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |