MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0m1 8525
Description: Ordinal exponentiation with zero base and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67 and its converse. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe0m1 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))

Proof of Theorem oe0m1
StepHypRef Expression
1 eloni 6375 . . 3 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ordgt0ge1 8497 . . 3 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o𝐴))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o𝐴))
4 ssdif0 4364 . . 3 (1o𝐴 ↔ (1o𝐴) = ∅)
5 oe0m 8522 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ↑o 𝐴) = (1o𝐴))
65eqeq1d 2732 . . 3 (𝐴 ∈ On → ((∅ ↑o 𝐴) = ∅ ↔ (1o𝐴) = ∅))
74, 6bitr4id 289 . 2 (𝐴 ∈ On → (1o𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))
83, 7bitrd 278 1 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2104  cdif 3946  wss 3949  c0 4323  Ord word 6364  Oncon0 6365  (class class class)co 7413  1oc1o 8463  o coe 8469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oexp 8476
This theorem is referenced by:  oev2  8527  oesuclem  8529  oecl  8541  oewordri  8596  oelim2  8599  oeoa  8601  oeoe  8603  cantnf  9692  oe0suclim  42331
  Copyright terms: Public domain W3C validator