Theorem oe0m1 8541

Description: Ordinal exponentiation with zero base and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67 and its converse. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m1	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))

Proof of Theorem oe0m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6373	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordgt0ge1 8513	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
4		ssdif0 4346	. . 3 ⊢ (1o ⊆ 𝐴 ↔ (1o ∖ 𝐴) = ∅)
5		oe0m 8538	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ↑o 𝐴) = (1o ∖ 𝐴))
6	5	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((∅ ↑o 𝐴) = ∅ ↔ (1o ∖ 𝐴) = ∅))
7	4, 6	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ⊆ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))
8	3, 7	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  Ord word 6362  Oncon0 6363  (class class class)co 7413  1_oc1o 8481   ↑_o coe 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oexp 8494

This theorem is referenced by:  oev2  8543  oesuclem  8545  oecl  8557  oewordri  8612  oelim2  8615  oeoa  8617  oeoe  8619  cantnf  9715  oe0suclim  43267