Theorem oe0m1 8445

Description: Ordinal exponentiation with zero base and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67 and its converse. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m1	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))

Proof of Theorem oe0m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6322	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordgt0ge1 8417	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
4		ssdif0 4296	. . 3 ⊢ (1o ⊆ 𝐴 ↔ (1o ∖ 𝐴) = ∅)
5		oe0m 8442	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ↑o 𝐴) = (1o ∖ 𝐴))
6	5	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((∅ ↑o 𝐴) = ∅ ↔ (1o ∖ 𝐴) = ∅))
7	4, 6	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ⊆ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))
8	3, 7	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3882   ⊆ wss 3885  ∅c0 4263  Ord word 6311  Oncon0 6312  (class class class)co 7356  1_oc1o 8387   ↑_o coe 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oexp 8400

This theorem is referenced by:  oev2  8447  oesuclem  8449  oecl  8461  oewordri  8517  oelim2  8520  oeoa  8522  oeoe  8524  cantnf  9603  oe0suclim  43693