Theorem oe0m1 7841

Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67 and its converse. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m1	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅))

Proof of Theorem oe0m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5951	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordgt0ge1 7817	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜 ⊆ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜 ⊆ 𝐴))
4		oe0m 7838	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ↑𝑜 𝐴) = (1𝑜 ∖ 𝐴))
5	4	eqeq1d 2801	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅ ↔ (1𝑜 ∖ 𝐴) = ∅))
6		ssdif0 4142	. . 3 ⊢ (1𝑜 ⊆ 𝐴 ↔ (1𝑜 ∖ 𝐴) = ∅)
7	5, 6	syl6rbbr 282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1𝑜 ⊆ 𝐴 ↔ (∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅))
8	3, 7	bitrd 271	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ∖ cdif 3766   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115  Ord word 5940  Oncon0 5941  (class class class)co 6878  1_𝑜c1o 7792   ↑_𝑜 coe 7798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oexp 7805

This theorem is referenced by:  oev2  7843  oesuclem  7845  oecl  7857  oewordri  7912  oelim2  7915  oeoa  7917  oeoe  7919  cantnf  8840