Theorem oe0m1 8558

Description: Ordinal exponentiation with zero base and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67 and its converse. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m1	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))

Proof of Theorem oe0m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6396	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordgt0ge1 8530	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
4		ssdif0 4372	. . 3 ⊢ (1o ⊆ 𝐴 ↔ (1o ∖ 𝐴) = ∅)
5		oe0m 8555	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ↑o 𝐴) = (1o ∖ 𝐴))
6	5	eqeq1d 2737	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((∅ ↑o 𝐴) = ∅ ↔ (1o ∖ 𝐴) = ∅))
7	4, 6	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ⊆ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))
8	3, 7	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  Ord word 6385  Oncon0 6386  (class class class)co 7431  1_oc1o 8498   ↑_o coe 8504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oexp 8511

This theorem is referenced by:  oev2  8560  oesuclem  8562  oecl  8574  oewordri  8629  oelim2  8632  oeoa  8634  oeoe  8636  cantnf  9731  oe0suclim  43267