Theorem oe0m1 8490

Description: Ordinal exponentiation with zero base and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67 and its converse. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oe0m1	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))

Proof of Theorem oe0m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 6356	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordgt0ge1 8462	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1o ⊆ 𝐴))
4		ssdif0 4320	. . 3 ⊢ (1o ⊆ 𝐴 ↔ (1o ∖ 𝐴) = ∅)
5		oe0m 8487	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ↑o 𝐴) = (1o ∖ 𝐴))
6	5	eqeq1d 2765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((∅ ↑o 𝐴) = ∅ ↔ (1o ∖ 𝐴) = ∅))
7	4, 6	bitr4id 292	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (1o ⊆ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))
8	3, 7	bitrd 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑o 𝐴) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  Ord word 6345  Oncon0 6346  (class class class)co 7396  1_oc1o 8430   ↑_o coe 8436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oexp 8443

This theorem is referenced by:  oev2  8492  oesuclem  8494  oecl  8506  oewordri  8562  oelim2  8565  oeoa  8567  oeoe  8569  cantnf  9646  oe0suclim  43859