Theorem partim 39843

Description: Partition implies equivalence relation by the cosets of the relation on its natural domain, cf. partim2 39842. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
partim	⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem partim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		partim2 39842	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
2		dfpart2 39804	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
3		dferALTV2 39685	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  dom cdm 5651   / cqs 8716   ≀ ccoss 39115   EqvRel weqvrel 39132   ErALTV werALTV 39141   Disj wdisjALTV 39151   Part wpart 39156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ec 8719  df-qs 8723  df-coss 39433  df-refrel 39524  df-cnvrefrel 39539  df-symrel 39556  df-trrel 39590  df-eqvrel 39601  df-dmqs 39655  df-erALTV 39681  df-disjALTV 39722  df-part 39801

This theorem is used by:  partimeq  39844  partimcomember  39881