Theorem partim 39580

Description: Partition implies equivalence relation by the cosets of the relation on its natural domain, cf. partim2 39579. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
partim	⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem partim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		partim2 39579	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
2		dfpart2 39541	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
3		dferALTV2 39422	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  dom cdm 5661   / cqs 8689   ≀ ccoss 38852   EqvRel weqvrel 38869   ErALTV werALTV 38878   Disj wdisjALTV 38888   Part wpart 38893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ec 8692  df-qs 8696  df-coss 39170  df-refrel 39261  df-cnvrefrel 39276  df-symrel 39293  df-trrel 39327  df-eqvrel 39338  df-dmqs 39392  df-erALTV 39418  df-disjALTV 39459  df-part 39538

This theorem is referenced by:  partimeq  39581  partimcomember  39618