Theorem partim 38800

Description: Partition implies equivalence relation by the cosets of the relation on its natural domain, cf. partim2 38799. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
partim	⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem partim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		partim2 38799	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
2		dfpart2 38761	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
3		dferALTV2 38660	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  dom cdm 5638   / cqs 8670   ≀ ccoss 38169   EqvRel weqvrel 38186   ErALTV werALTV 38195   Disj wdisjALTV 38203   Part wpart 38208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ec 8673  df-qs 8677  df-coss 38402  df-refrel 38503  df-cnvrefrel 38518  df-symrel 38535  df-trrel 38565  df-eqvrel 38576  df-dmqs 38630  df-erALTV 38656  df-disjALTV 38697  df-part 38758

This theorem is referenced by:  partimeq  38801  partimcomember  38827