Theorem partim 37022

Description: Partition implies equivalence relation by the cosets of the relation on its natural domain, cf. partim2 37021. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
partim	⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)

Proof of Theorem partim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		partim2 37021	. 2 ⊢ (( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴) → ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
2		dfpart2 36983	. 2 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 ↔ ( Disj 𝑅 ∧ (dom 𝑅 / 𝑅) = 𝐴))
3		dferALTV2 36882	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel ≀ 𝑅 ∧ (dom ≀ 𝑅 / ≀ 𝑅) = 𝐴))
4	1, 2, 3	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝑅 Part 𝐴 → ≀ 𝑅 ErALTV 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539  dom cdm 5600   / cqs 8528   ≀ ccoss 36381   EqvRel weqvrel 36398   ErALTV werALTV 36407   Disj wdisjALTV 36415   Part wpart 36420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ec 8531  df-qs 8535  df-coss 36625  df-refrel 36726  df-cnvrefrel 36741  df-symrel 36758  df-trrel 36788  df-eqvrel 36799  df-dmqs 36853  df-erALTV 36878  df-disjALTV 36919  df-part 36980

This theorem is referenced by:  partimeq  37023  partimcomember  37049