Theorem prsssprel 48388

Description: The elements of a pair from a subset of the set of all unordered pairs over a given set 𝑉 are elements of the set 𝑉. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsssprel	⊢ ((𝑃 ⊆ (Pairs‘𝑉) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem prsssprel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel2 3926	. 2 ⊢ ((𝑃 ⊆ (Pairs‘𝑉) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝑃) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Pairs‘𝑉))
2		prsprel 48387	. 2 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
3	1, 2	stoic3 1809	1 ⊢ ((𝑃 ⊆ (Pairs‘𝑉) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {cpr 4586  ‘cfv 6533  Pairscspr 48377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-spr 48378

This theorem is used by:  sprsymrelfvlem  48390