Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prsssprel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prsssprel 45928
Description: The elements of a pair from a subset of the set of all unordered pairs over a given set 𝑉 are elements of the set 𝑉. (Contributed by AV, 21-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
prsssprel ((𝑃 ⊆ (Pairs‘𝑉) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝑃 ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑊)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))

Proof of Theorem prsssprel
StepHypRef Expression
1 ssel2 3973 . 2 ((𝑃 ⊆ (Pairs‘𝑉) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝑃) → {𝑋, 𝑌} ∈ (Pairs‘𝑉))
2 prsprel 45927 . 2 (({𝑋, 𝑌} ∈ (Pairs‘𝑉) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑊)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
31, 2stoic3 1778 1 ((𝑃 ⊆ (Pairs‘𝑉) ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝑃 ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑊)) → (𝑋𝑉𝑌𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wss 3944  {cpr 4624  cfv 6532  Pairscspr 45917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fv 6540  df-spr 45918
This theorem is referenced by:  sprsymrelfvlem  45930
  Copyright terms: Public domain W3C validator