Theorem ralrnmpt3 46271

Description: A restricted quantifier over an image set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralrnmpt3.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
ralrnmpt3.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
ralrnmpt3.3	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ralrnmpt3	⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem ralrnmpt3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralrnmpt3.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		ralrnmpt3.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3	1, 2	ralrimia 3261	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5		ralrnmpt3.3	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
6	4, 5	ralrnmptw 7094	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))
7	3, 6	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-fv 6546

This theorem is used by:  liminflelimsuplem  46785